随机线性互补问题的半光滑投影牛顿算法研究

"这篇论文是2015年发表在《吉林大学学报(理学版)》第53卷第1期上，作者是魏潇和张璐，来自西安电子科技大学数学与统计学院。文章探讨了解决随机线性互补问题的新方法——半光滑投影牛顿算法，并通过数值实验验证了其有效性。关键词包括随机线性互补问题、半光滑投影牛顿算法、约束极小化问题以及EV模型。" 本文主要研究的是如何解决一类特殊的数学问题——随机线性互补问题（Stochastic Linear Complementarity Problem, SLCP），这是一种在决策分析、优化理论和概率论等领域常见的问题。SLCP涉及到含有随机变量的线性不等式和等式，其中的变量需要满足互补条件，即非负变量乘以非正的线性表达式的值为零。 传统的求解SLCP的方法可能不适用于具有有限个随机变量的情况，因此，作者提出了将SLCP转化为一个约束极小化问题的策略。通过这种转化，SLCP可以被看作是在一系列约束条件下寻找最小化的函数，这使得问题的解决更加直观且有可能更高效。 接着，作者引入了半光滑投影牛顿算法（Semi-smooth Projected Newton Method）来处理这个转化后的极小化问题。半光滑性是一种广义的光滑性概念，它允许在某些点具有不连续的导数，但仍保持局部二次收敛性。投影牛顿法是一种在迭代过程中结合了牛顿法和投影操作的优化方法，能够在保证算法收敛的同时，确保解始终位于可行域内。 论文中，作者详细阐述了半光滑投影牛顿算法的步骤，包括迭代公式、方向更新和步长选择等关键环节。此外，他们还进行了数值实验，这些实验结果证明了所提出的算法在解决SLCP时的有效性和效率。 这篇论文为解决含有随机成分的线性互补问题提供了一种新的数值方法，对于优化理论和计算数学的研究具有重要意义，同时也对实际应用中的决策问题提供了一种强大的工具。通过半光滑投影牛顿算法，即使面对复杂和随机的环境，也能有效地找到问题的解决方案。