动态规划解最长单调递增子序列问题

"本资源主要介绍了动态规划这一算法思想，并通过两个具体的实例——最长单调递增子序列和最多拦截导弹数问题，详细解析了如何运用动态规划解决实际问题。" 动态规划是一种用于解决最优化问题的算法，它通过将复杂问题分解为多个子问题，并利用子问题的最优解来构建原问题的最优解。动态规划的核心特点是具有最优子结构和重叠子问题，这两个特性使得我们可以使用自底向上的方法来求解问题，避免了重复计算，提高了效率。 首先，我们来看第一个问题——最长单调递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）。这个问题要求在一个给定的序列中找到一个子序列，这个子序列是单调递增的并且长度最长。动态规划的解决方案是使用一个辅助数组b，其中b[i]表示以a[i]为结尾的最长递增子序列的长度。对于每个元素a[i]，我们可以遍历前面的所有元素a[k]，如果a[k] ≤ a[i]，则更新b[i] = max(b[i], b[k] + 1)。最后，序列a的最长递增子序列的长度就是所有b[i]中的最大值。 例如，给定序列6 5 1 5 8 17 0 155 239 300 207 389，我们可以逐步计算出b数组的值，最终得出最长递增子序列的长度为6。 第二个问题是“最多拦截导弹数”。这个问题描述的是一个导弹拦截系统拦截来袭导弹的能力会随着每次成功拦截而下降，我们需要找到一个策略，使系统能够拦截尽可能多的导弹。这个问题同样可以用动态规划来解决。我们可以定义一个数组b，其中b[i]表示在拦截到第i个导弹时，系统最多能拦截的导弹数量。对于每个导弹，我们可以找到之前所有高度小于或等于它的导弹，然后更新b[i]为拦截当前导弹后系统最多能拦截的导弹数。 例如，给定一组导弹高度3890 2070 1550 3000 2990 1700 1580 650，我们可以计算出最多能拦截6枚导弹。 在实际编程中，这两个问题的解决方案通常包括读取输入、初始化数据结构（如数组b），然后使用循环结构遍历序列，根据动态规划的规则更新数组b，最后输出结果。代码示例中给出了如何使用C++实现这两个问题的动态规划算法。 通过这两个实例，我们可以看到动态规划的强大之处在于它能够优雅地解决具有最优子结构的问题，而且在许多情况下，能够提供线性或接近线性的复杂度。在实际编程和算法竞赛中，动态规划是解决问题的重要工具，尤其对于那些涉及最优化问题的场景。