Markov链与纯不连续随机过程详解 - 马氏性与应用

本章节主要讨论的是Markov过程，这是一种在IT行业中广泛应用的数学概念，特别是在自然科学、工程技术、生命科学以及管理科学等领域。Markov过程分为两类：参数离散且状态空间离散的Markov链，以及参数连续但状态空间离散的纯不连续Markov过程。 1. Markov链的定义： - 马尔可夫链是随机过程的一种，其状态空间是离散的，比如0, 1, 2...。定义的关键在于随机序列的状态转移只依赖于当前状态，而不受先前状态的影响，这被称为马尔可夫性质或无后效性。马尔可夫链可以用随机序列{Xn}来表示，满足递推关系式（A）。 2. 转移概率与齐次马氏链： - 马尔可夫链的一步转移概率是指从一个状态转移到另一个状态的概率，对于齐次马氏链，这个概率在所有时间点都是常数，表示为转移矩阵P。如果转移概率不随时间变化，则称为齐次或时齐的。 3. 随机过程的描述： - 随机过程是概率论中研究的高级概念，它是一族在给定概率空间上定义的随机变量，参数通常代表时间或空间。随机过程可以通过两种方式描述：一是通过映射，即二元函数，将时间与随机变量关联；二是通过样本函数，即对于特定时间点的随机变量值。 4. 状态空间和状态： - 随机过程的状态空间S包含了所有可能的随机变量取值集合，状态则是这些取值的具体表现。例如，抛掷硬币的随机过程，状态空间S可能包含“正面”和“反面”。 5. 具体例子： - 抛掷硬币的例子展示了如何构造一个简单的随机过程。在这个过程中，随机变量Xt表示在t时刻硬币的结果，其状态空间是有限的，状态是“正面”或“反面”，并且转移概率P给出了从一个状态到另一个状态的概率。 总结来说，这一章是关于马尔可夫过程的基础介绍，包括其定义、转移概率以及在实际问题中的应用。对于编程或数据分析相关的工作，理解马尔可夫过程的原理和特性是至关重要的，因为它们可以应用于诸如自然语言处理、机器学习中的序列预测等场景。通过深入学习和实践，能够掌握如何利用马尔可夫模型解决实际问题，提升算法性能。