《数字信号处理》王世一版习题解答：差分方程与傅里叶变换

"《数字信号处理》王世一版的部分习题答案，涉及线性常系数差分方程、单位取样响应、卷积和、频率响应、因果系统以及傅里叶变换等概念，适用于中国科学技术大学考研复习。" 本文将深入探讨《数字信号处理》王世一版教材中的一道习题，该习题涵盖了数字信号处理中的核心知识点，包括线性常系数差分方程（LCCDE）、单位取样响应、系统响应、频率响应以及傅里叶变换。这些内容对于理解和分析数字信号系统至关重要，特别是在考研复习中。 首先，线性常系数差分方程是描述数字信号系统动态特性的基本工具。在题目中，给定的差分方程为： 1 1 () ( 1) () ( 1) 2 2 yn yn xn xn = − + + − 这用于定义系统输入与输出的关系。要找到因果系统的单位取样响应，我们需要将z变换应用于差分方程，以得到Z域表示的系统函数H(z)。然后，通过设置z=1，我们可以得到单位取样响应h(n)。 对于输入信号() jn xn eω = ，利用单位取样响应h(n)和卷积性质，可以计算出系统的输出。卷积和是数字信号处理中的关键操作，它表示的是两个序列的线性组合。在本题中，输入序列与单位取样响应进行卷积，得到输出序列y(n)。 进一步，要找到系统的频率响应，即系统对不同频率成分的响应，我们对H(z)取复数频率z=e^(jω)，得到H(e^jω)。频率响应包含了系统的幅频特性（幅度响应）和相频特性（相位延迟）。在问题（c）中，通过计算H(e^jω)，可以分析系统在不同频率下的性能。 最后，问题（d）要求计算系统对() cos2 4 xn n π π ⎛ = + ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟的响应。输入是一个正弦波，我们可以将它转换为复指数形式，并利用已知的频率响应H(e^jω)来求解。通过将ω替换为2π/4，我们可以直接应用卷积原理来得到输出y(n)。 此外，题目还包含了傅里叶变换的应用，它是分析离散时间序列在频域中表现的重要工具。例如，问题（a）至（d）分别要求计算不同序列的傅里叶变换。傅里叶变换能够将时域序列转化为频域表示，揭示信号的频率成分。 《数字信号处理》中的这道习题涵盖了数字信号处理的核心概念，包括差分方程、单位取样响应、系统响应、频率响应以及傅里叶变换。掌握这些知识点对于理解数字信号处理的基本原理以及解决实际问题具有重要意义，尤其对于准备考研的学生来说，是必不可少的复习内容。