MATLAB实现Warshall-Floyd算法：寻找赋权图最短路径

本文档主要探讨了图论算法在MATLAB编程环境中的应用，特别是针对赋权图G=(V, E, F)中任意两点间的最短路径计算，使用了著名的Warshall-Floyd算法。Warshall-Floyd算法是一种动态规划方法，用于寻找图中所有顶点对之间的最短路径。算法的核心步骤包括： 1. **矩阵初始化**：定义一个n×n的矩阵A，其中aij表示从顶点vi到vj的权重。若(vi, vj)之间有边，aij取F(vi, vj)的值；否则，如果i≠j，则aij设置为正无穷（MATLAB中用Inf表示），表示没有直接连接。另外，初始化dij为aij，rij为j，k设置为1，进入下一轮迭代。 2. **迭代更新**：在每一轮迭代中，检查所有可能的路径组合（通过k作为中介顶点），如果找到一条新的更短路径（dik + dkj < dij），则更新dij的值并记录rij（表示新路径的中介顶点）。 3. **终止条件**：如果发现某个顶点vi的dii变为负数，说明存在负权回路，算法终止；当k等于顶点总数n时，或已检查完所有可能路径组合，也视为终止。此时，rij可以用来恢复最短路径。 文档还提及了一个MATLAB示例，用于求解图6-4中任意两点间的最短路径。程序首先定义了图的权重矩阵A，然后按照Warshall-Floyd算法的步骤进行操作，包括初始化距离矩阵D、路径矩阵R，并在过程中检查是否存在负权回路。 此外，文章还提到了Kruskal避圈法，这是一种构建最小生成树的贪心算法。它通过逐步添加边，保持生成树的边不构成环，直到生成的树包含所有顶点减一的边。这种方法适用于无向图，且所有边都有正权值。 总结来说，本资源提供了图论算法在MATLAB中的具体实现，包括 Warshall-Floyd 算法用于求最短路径以及Kruskal算法构建最小生成树的方法。这对于理解和应用图论概念以及在实际编程环境中处理图问题具有重要意义。