信息论编码模拟试题与解析：最大熵、信源编码与信道容量

"《信息论编码》模拟试题二及参考答案包含了信息论编码课程的一些核心概念，如信源编码、信道编码、编码效率、译码准则等，并提供了相关计算和理论问题。试题涵盖离散信源和连续信源的最大熵定理、平均自信息与平均互信息、等长编码和变长编码、最小错误概率译码、最大似然译码、最小距离译码准则、信源概率分布和信道转移概率对平均互信息的影响、信道容量的计算，以及卷积码的编码原理等。" 1. **最大熵定理**：在给定信源统计特性的情况下，离散信源的最大熵意味着信源的不确定性最大，通常对应于均匀分布。而连续信源的最大熵则对应于高斯分布，其中熵是基于概率密度函数的积分。 2. **平均自信息（信息熵）**：衡量一个随机变量（如信源符号）不确定性或信息量的期望值。对于离散信源，信息熵定义为所有符号出现概率的负对数加权和。**平均互信息**：表示两个随机变量之间的信息关联度，即一个变量关于另一个变量的信息量。两者相同之处在于都是信息量的度量，不同之处在于自信息只涉及一个变量，而互信息涉及两个变量间的相互依赖。 3. **等长信源编码定理**指出，对于等长编码，最佳码的每符号平均码长等于信源熵。**无失真变长信源编码定理**表明，在无损编码条件下，最佳码的每符号平均码长不能低于信源熵，而编码效率可达到信源熵。 4. **最小错误概率译码**以最小化译码错误率为目标；**最大似然译码**是选择使得接收序列概率最大的码字作为译码结果；**最小距离译码**则是根据码字之间的汉明距离进行决策，选择最接近接收序列的码字。这三种准则在特定情况下可以等价，但一般不完全相同。 5. **二元码字的编码效率计算**涉及到码字的概率分布，而**最小距离译码**用于确定接收到的序列最可能对应的原始码字。 6. **平稳二元信源**的熵计算依赖于符号的联合概率分布。**平稳**意味着统计特性不随时间变化。 7. **平均互信息**受信源概率分布和信道转移概率影响，它反映了通过信道传输信息的效率。平均互信息与信道容量的关系是，信道容量是能够通过信道无误差传输的最大平均互信息。 8. **信源序列的自信息量**与特定符号序列的概率有关，而**信源序列的熵**是所有可能序列的熵的期望值，对于无记忆信源，可以用每个符号的熵乘以符号数量来近似。 9. **信道容量**的计算需要考虑信道转移概率矩阵，找到最大化平均互信息的输入概率分布。 10. **卷积码**的编码原理通常涉及状态-输出转移矩阵，用于生成连续的码字序列。 11. **二元马尔科夫链**的熵计算基于状态转移概率，而**Huffman编码**是一种变长编码方法，用于高效地编码出现频率不同的符号。 12. **最佳概率分布**是信道编码中的关键概念，它使得平均互信息最大，而**信道疑义度**是衡量信道质量的一个指标。 13. **线性分组码**的生成矩阵用于构造码字，通过一致性校验矩阵可以确定码字的校验位，进而计算最小码距和纠错能力。**伴随式法**是用于确定错误位置的译码方法。 14. **二元对称信道**的信道矩阵描述了从输入到输出的转换概率，计算信道容量和最优输入分布通常涉及贝叶斯公式和对数似然比。 这些知识点构成了信息论编码的基础，理解和掌握它们对于深入学习和应用信息论编码技术至关重要。