考研数学复习：高等数学核心知识点总结

"这是一份关于考研数学中高等数学部分的知识点总结，涵盖了函数概念、无穷小比较、求极限的方法等内容，由杨凯钧在2005年10月编辑。" 高等数学是数学的基础课程，对于理解和应用数学概念至关重要。这份资料详细整理了高数中的关键知识点，便于考前复习。 首先，文件介绍了函数的概念，特别是如何用变上限、下限积分来定义函数。例如，当函数f(t)在某区间连续，可以用积分来表示函数y与x的关系，即y = ∫(0 to x) f(t) dt。此外，通过微分方程也可以建立函数之间的联系，如dy/dx = ∫(x_1 to x_2) f(t) dt，其中φ_1(x)和φ_2(x)是满足特定条件的可导函数。 其次，文件讨论了无穷小的比较。无穷小是指随着变量x趋近于某一值时，其值趋于零的量。比如，当x趋近于0时，函数f(x)和g(x)都是无穷小，如果lim(x->0)(f(x)/g(x))=l，那么f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记为f(x) = o(g(x))；若l≠0，f(x)和g(x)为同阶无穷小；若l=1，它们是等价无穷小，记为f(x) ~ g(x)。常见等价无穷小包括：x~xsin(x)，x~xtan(x)，x~arcsin(x)，x~arctan(x/2)，1-cos(x)/x~1/2，ex-1~x，1/(1+x)~1-x，(1+x)^(α)-1~αx。 接着，文件列出了求极限的主要方法。一是利用极限的四则运算和幂指数法则，只要各个分量的极限都存在，整个表达式的极限就可以直接计算。二是利用准则，如单调有界数列的极限定理（夹逼准则），若数列{x_n}满足单调性和有界性，那么其极限A存在。三是两个重要的极限公式：1/sin(x)当x趋向于0的极限等于1，以及e的自然对数定义，即lim(n->∞)(1+1/n)^n=e，这是自然对数底数e的定义。 这个总结提供了高数学习的关键框架，对于准备考研的学生来说，是宝贵的复习材料，可以帮助他们快速回顾和理解高等数学的基本概念和定理。