Python微积分入门：函数、极限与导数解析

"Python微积分教程" 在Python中进行微积分工作，主要依赖于一些科学计算库，如NumPy、Matplotlib和Sympy。这些库提供了丰富的数学功能，使得我们能够在Python环境中方便地进行微积分操作。 1. **函数**： 函数是微积分的基础，它描述了一个输入（自变量）与输出（因变量）之间的关系。在Python中，你可以通过`def`关键字定义函数，例如上面提到的三次函数`f(x) = x**3 - 5*x**2 + 9`。定义好函数后，可以使用`print`函数来测试其输出，或利用matplotlib绘制函数图像来直观理解其行为。 2. **定义域与值域**： 定义域是函数可以接受的所有输入的集合，值域则是这些输入对应的输出集合。在上面的例子中，定义域和值域都是所有实数，因为没有限制输入x的范围。 3. **多项式函数**： 多项式函数是最简单的函数类型之一，例如二次函数、三次函数等。它们由幂次不同的x的项组成，且系数为常数。 4. **指数函数**： 指数函数如`a^x`，其中a是常数，x是变量。Python中的NumPy库支持指数运算，可以方便地计算和绘图。 5. **复合函数**： 复合函数是由两个或更多函数组合而成的新函数，形式为`f(g(x))`，表示先应用g函数，然后把结果代入f函数。 6. **欧拉公式**： 欧拉公式连接了复数、三角函数和指数函数，表达式为`e^(iθ) = cosθ + i * sinθ`，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，θ是角度。 7. **泰勒级数**： 泰勒级数是一种用无限项多项式近似复杂函数的方法，它将函数表示为无穷级数的形式，以便于分析和计算。 8. **极限**： 极限是微积分中的核心概念，用于研究函数在某一点附近的行为，例如求解`lim (x→a) f(x)`。 9. **大O记法**： 大O记法是算法分析中用来描述函数增长速度的符号，常用于表示算法的时间复杂度。 10. **导数**： 导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，是微分学的基础。在Python中，可以使用Sympy库求解导数。 11. **牛顿迭代法**： 牛顿迭代法是一种求解函数零点的数值方法，通过迭代逐渐逼近解。 12. **优化**： 在微积分中，优化问题通常涉及寻找函数的最大值或最小值，这在物理、工程和经济等领域有广泛应用。 13. **不定积分**： 不定积分是导数的逆运算，它找到原函数，即知道导数后找出原函数的过程。 14. **欧拉方法**： 欧拉方法是求解常微分方程初值问题的一种数值方法，通过连续的线性逼近来近似解。 为了更好地学习Python微积分，推荐使用支持这些库的Python发行版，如Enthought的Canopy，或者使用Jupyter Notebook进行交互式学习。同时，注意书中提到的函数库调用方式，以及计划将内容移植到Python3的Jupyter Notebook版本，这对于学习和实践都非常有帮助。通过实践和绘图，可以更深入地理解微积分的概念。