放射性粒子布朗运动：FPE与LE的等效性验证与时空分布研究

本文探讨了放射性粒子的布朗运动，这是一个关键的领域，在核科学和技术中具有实际应用，特别是在放射性废物管理、放射性测量以及放射性物质在生物系统中的行为研究中。布朗运动是一种随机过程，其核心在于描述粒子如何随时间随机移动，而放射性衰变粒子的布朗运动因其非连续性特性（由于粒子衰变导致路径中断）而与经典连续过程有所不同。 首先，文章回顾了两种主要的理论框架，即福克-普朗克方程（Fokker-Planck Equation, FPE）和兰格文方程（Langevin Equation, LE），它们在分析随机过程时各有优势。FPE通过求解偏微分方程，提供了粒子从一个位置转移到另一个位置的概率密度，而LE则通过随机微分方程描述了随时间演变的统计过程变量。通常情况下，如果过程是连续且满足特定边界条件，这两种方法会产生一致的结果。 然而，当应用于放射性衰变粒子的布朗运动时，问题变得复杂。由于粒子的衰变事件会导致路径中断，使得FPE和LE在计算均方位移时产生了分歧。为了解决这一问题，作者提出了以下三个关键步骤： 1. **定量关联**：作者展示了如何定量地将FPE预测的概率密度和统计矩与LE的时间演化联系起来，这使得两种方法在理论上可以相互转化，即使在处理非连续性时也能保持一致性。 2. **统计矩验证**：作者进一步证明了无论何时，FPE和LE都能在相同的时间点产生相同顺序的统计矩，这是确保两种方法等效性的关键证据，特别是对于高阶矩，这些量可以提供关于粒子分布更深入的信息。 3. **解析解与模拟比较**：通过蒙特卡罗模拟，作者使用LE生成了大量的布朗运动轨迹，然后对比这些模拟结果与FPE的解析解，证实了FPE的解析解能够精确地描述衰变粒子的实际运动行为。 此外，文中还讨论了两种方法在空间分布（即粒子位移与扩散时间的关系）和时间分布（即粒子首次到达固定吸收边界的时间）方面的应用，包括首次通过时间的概念，这在物理学和工程学中常常与伯努利工艺和生存函数等相关概念结合，用于评估系统的稳定性和响应。 本文的贡献在于通过数学上的严谨论证和数值模拟，解决了放射性衰变粒子布朗运动中FPE和LE之间的理论分歧，强化了这两种分析工具在非连续随机过程中的适用性，并为未来在放射性环境下的粒子行为研究提供了坚实的基础。