EM算法详解：NLP作业中的参数估计方法

本次作业是关于自然语言处理（NLP）中的一个重要算法——期望最大化（EM）算法。EM算法是一种在有隐含变量的情况下进行参数估计的迭代方法，尤其适用于那些难以直接求出最大似然估计的模型，如高斯混合模型（GMM）在词性标注或主题模型中的应用。 首先，我们来回顾一下背景知识。在NLP任务中，我们通常会遇到观测数据X（例如文本序列）和隐含变量Z（如词性标签或潜在主题）。完整数据Y则包括X和Z。EM算法的目标是从这些观测数据出发，通过迭代过程来找到最优的模型参数θ，使得模型对完整数据的概率最大。 算法的核心步骤如下： 1. **边缘分布与联合分布**：EM算法以边缘分布列为基础，即先计算观测数据X与隐含变量Z条件独立时的概率分布，然后将其转换为联合分布。初始形式为： \[ P(X|Y, \theta) = \frac{P(X, Z| \theta)}{P(Z| \theta)} \] 2. **Q函数定义**：定义一个Q函数，它表示在当前参数估计下，假设隐含变量的分布为Q(z)时，目标函数L(θ)的期望值。即： \[ Q(\theta, \theta') = E_{Q(z)}\left[\log P(X, Z | \theta')\right] \] 3. **E步（Expectation Step）**：在这一阶段，保持参数θ'不变，计算当前状态下隐含变量Z的期望分布Q(z)，使得目标函数接近极大似然值。 4. **M步（Maximization Step）**：在E步的基础上，更新参数θ，使得目标函数L(θ)最大化，通常通过梯度上升或坐标下降法实现： \[ \theta^{(t+1)} = \arg\max_\theta Q(\theta, \theta^{(t)}) \] 5. **重复迭代**：E步和M步交替进行，直到Q函数不再显著改变或者达到预设的迭代次数，最终得到收敛的参数估计。 6. **利用Jensen不等式**：在证明过程中，利用了Jensen不等式，对于凹函数，期望值函数的对数总是小于等于实际函数的对数，从而保证了优化方向的正确性。 7. **应用实例**：在实际的NLP任务中，比如词性标注或主题模型，通过EM算法，我们可以处理文本中的不确定性，找出最有可能的词性分配或主题分布，即使数据中存在缺失的信息。 本作业要求学生熟练掌握EM算法的基本原理和在NLP中的应用，能够通过迭代过程优化模型参数，解决含有隐含变量的数据处理问题。这不仅锻炼了统计建模和优化技术，也深化了对概率模型理解和实际应用的理解。