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式中:N 为单位体积内所有云滴的总数;r 为云滴半径;r
g
和 σ
g
分别为云滴几何平均半径和几何
标准差,它们的取值确定了云滴谱的形状。在 MODIS 云反演算法中 σ
g
为定值,取
ln σ
g
=0.13。
而在 WRF NSSL-2mom 参数化方案中
[26]
,粒子谱分布形式服从修正 Gamma 函数:
n(r)=3Nr2r3gexp[−(rrg)3]
。
(2)n(r)=3Nr2rg3exp-rrg3。(2)
在给定谱分布下,有效粒子半径 r
eff
可以定义为
reff=∫rmaxrminn(r)r3dr∫rmaxrminn(r)r2dr,(3)reff=∫rminrmaxn(r)r3dr∫rminrmaxn(r)r2dr,(3)
式中:r
max
、r
min
分别为云滴半径的最大、最小值。
将(1)式代入(3)式可得
reff=∫rmaxrminN2π√lnσg⋅1rr3exp[−(lnr−lnrg)22ln2σg]dr∫rmaxrminN2π√lnσg⋅1rr2exp[−(lnr−lnrg)22ln2
σg]dr
。
(4)reff=∫rminrmaxN2πlnσg·1rr3exp-(lnr-
lnrg)22ln2σgdr∫rminrmaxN2πlnσg·1rr2exp-(lnr-lnrg)22ln2σgdr。(4)
由(4)式可知
rg=G(reff),(5)rg=G(reff),(5)
即 r
g
为 r
eff
的函数。同理,粒子谱分布形式服从修正 Gamma 函数时,r
g
也是 r
eff
的函数。综合
(1)~(5)式可知
n(r)=F(N,reff,r)
。
(6)n(r)=F(N,reff,r)。(6)
当给定云滴总数 N 和 r
eff
时,可以得到云滴数浓度随云滴半径的变化。图 1 为不同 r
eff
取值下
的两种云滴尺度谱分布经归一化处理[ ∫∞0∫0∞n(r)dr=1]后的示意图,图 1(a)为对数正态谱分
布,图 1(b)为修正 Gamma 函数谱分布。云滴谱通常表现为云滴浓度随 r
eff
迅速增加,到某个
极大值后又随 r
eff
缓慢地减小
[27]
。可以看出:r
eff
越大,谱形越宽,随 r
eff
增大时,服从修正
Gamma 函数分布的尺度谱的谱形比服从对数正态函数分布的尺度谱的谱形要宽,峰值更
小。这说明,随着云滴粒子有效半径 r
eff
的增大,采用修正 Gamma 函数来拟合云滴谱时的云
滴浓度比采用对数正态函数来拟合云滴谱时的云滴浓度更低,云滴尺度更大。