C++与Java实现数据结构与算法：线性筛素数、欧拉函数计算

"该文档提供了一组数据结构和算法的函数实现模板，主要涉及C++和Java语言。其中，线性筛素数、求欧拉函数、计算约数个数等核心算法被详细阐述和实现。" 在计算机科学中，算法和数据结构是构建高效程序的基础。这篇文档聚焦于这两个关键领域，特别是对于数值计算和数学问题的解决。以下是文档中涉及到的一些重要知识点： 1. **线性筛素数**：这是一种高效的素数筛选方法，用于找出一定范围内的所有素数。在代码中，`sieve()` 函数通过初始化一个布尔数组 `bp` 来标记每个数字是否为素数，然后用 `p` 数组存储找到的素数。这个算法的时间复杂度为 O(n log log n)，比朴素的逐个检查方法更优。 2. **欧拉函数**（Euler's Totient Function）：欧拉函数 `phi(n)` 表示小于或等于 `n` 的正整数中与 `n` 互质的数的数量。在代码中，`phi[]` 数组用于预先计算每个数的欧拉函数值。`eulerPhi()` 函数则提供了一个动态计算欧拉函数的方法，通过分解质因数来求解，适用于动态查询。 3. **约数个数**：`divNum[]` 数组用于存储每个数的因数个数。在 `sieve()` 函数中，当找到一个数的最小素因子时，会根据积性性质更新因数个数。 4. **最小素因子次数**：`e[]` 数组记录每个数的最小素因子出现的次数，这在处理因数个数时很有帮助。 5. **字符串操作**：文档还提供了一个简单的字符串连接函数 `join()`，用于将字符串向量 `vs` 按指定分隔符 `ch` 连接成单个字符串。 这些算法和数据结构在实际编程中有着广泛应用，例如在密码学、图形学、计算机网络等领域。理解并熟练掌握它们，能够提升编程效率，优化程序性能，并为解决更复杂的问题奠定基础。在学习过程中，可以结合实例进行练习，加深对这些概念和实现的理解。