函数逼近与线性拟合：MATLAB实例解析

在"常用的线性变换-5-函数逼近与拟合法"中，主要讲解了科学计算中的函数逼近与拟合技术，特别是如何利用MATLAB进行数据处理和分析。课程由唐建国教授在中南大学材料科学与工程学院进行，针对的是2013年9月的一系列讲座。 主要内容包括： 1. 引言：讨论了在实际问题中，如考察纤维强度与拉伸倍数的关系时，如何通过观察数据点分布（例如给出的24个纤维样品强度与拉伸倍数的记录）来推断可能存在的线性关系。当数据点大致分布在一条直线附近时，意味着强度与拉伸倍数可能存在简单的线性关联。 2. 函数逼近： - 傅里叶逼近：这是一种将复杂函数近似为简单周期函数的方法，常用于信号处理和图像分析等领域。 - 最小二乘法拟合：这是寻找最佳拟合线或曲线的方法，通过最小化残差平方和，即数据点到拟合线的距离的平方和，来确定待定参数。 - 分类： - 多元线性拟合：适用于多个自变量与一个因变量之间的线性关系。 - 非线性拟合：当数据呈现非线性趋势时，通过数学模型（如多项式、指数或对数函数等）进行拟合。 3. MATLAB的拟合函数：MATLAB提供了丰富的函数库，如`polyfit`（用于多项式拟合）、`lsqcurvefit`（用于非线性最小二乘拟合）等工具，使得数据拟合过程更加方便和高效。 4. 实例分析：以纤维强度与拉伸倍数的数据为例，展示了如何使用最小二乘法进行线性拟合，以及为何选择线性模型而非高次插值，因为高次插值可能导致不稳定性和保留过多的测量误差。 5. 插值与拟合曲线的区别：插值是构建精确穿过每个数据点的函数，而拟合则是寻找一个曲线，使其总体上最接近数据点，即使牺牲个别点的精度也在所不惜。 总结来说，本资源介绍了在工程和科学研究中，如何运用数学方法（如线性变换和最小二乘法）通过MATLAB进行数据处理，以建立和验证理论模型与实验数据之间的关系。这对于理解和应用数学模型在实际问题中的作用具有重要意义。