马尔科夫链：随机过程与模拟实例

马尔科夫链(Markov Chains)是随机过程中的一个重要概念，它是一种描述系统状态随时间演变的数学模型，特别适用于那些状态转移仅依赖当前状态而不考虑历史状态的问题。在第13章中，随机过程的基本概念被深入探讨，强调了随机现象不仅关注某一时刻的状态，更关注其随时间发展的动态变化过程，如卡车装运系统、电话交换系统和城市交通交叉路口等。 随机过程与确定性函数的区别在于，后者是一族确定的数值集合，而随机过程则是由一族随机变量组成，每个随机变量对应一个时间点，形成状态空间。随机过程可以通过参数集T和状态空间E来分类，如离散参数链、非离散参数链、随机序列和随机函数。此外，随机过程还可以依据概率结构进一步细分为独立增量过程、平稳过程、非平稳过程和马尔可夫过程，其中马尔可夫链的特点是未来状态只依赖于当前状态，不依赖于过去的路径，这使得它在统计力学、通信工程、金融等领域广泛应用。 随机过程的模拟是通过计算机生成随机变量或随机过程样本的关键技术。它的实质是通过计算机算法生成随机数来模拟随机变量的行为，进而构建出整个随机过程的函数样例。泊松过程（又称泊松流）是一个特定类型的随机过程，它用于描述如顾客流量、订单流或数据流等随机到达的情况。泊松过程的特点是事件的发生率遵循泊松分布，其概率密度函数与过去的时间间隔无关，只与当前的平均速率（λ）有关，因此它满足马尔可夫性质。 总结来说，马尔科夫链是随机过程的一种，强调了状态转移的无后效性，是理解复杂系统动态行为的重要工具。通过模拟技术，我们可以对这些随机过程进行定量分析和预测，为实际问题提供决策支持。在实际应用中，了解和掌握马尔可夫链理论有助于我们更好地设计和优化各种系统的运行策略。