线性规划与列生成法入门教程

"Column Generation Tutorial 是一篇关于列生成方法的简单介绍，适合对线性规划问题有大量变量的情况。文章作者Marc De Leenheer来自比利时根特大学和美国加州大学戴维斯分校。文中涵盖了线性规划的基本概念、标准形式、单纯形法及其在解决复杂问题中的应用。" 列生成方法（Column Generation）是一种优化技术，主要用于处理具有大量决策变量的线性编程（Linear Programming, LP）问题。这种方法的核心思想是通过迭代过程逐步构建模型，每次只考虑当前问题最相关的部分变量，即“列”，而不是一次性引入所有可能的变量。这种方法尤其适用于变量数量庞大的情况，可以显著减少计算时间和内存需求。 线性规划的基础是寻找满足线性约束条件下目标函数最小值的解。标准形式的线性规划模型包括线性目标函数、线性约束以及变量限制。对于整数线性规划（Integer Linear Programming, ILP）、混合整数与实数线性规划（Mixed-Integer Programming, MIP）以及二进制整数规划（Binary Integer Programming, BIP），它们在标准形式的基础上增加了对变量类型的限制。 单纯形法是求解线性规划问题的一种常用算法。它通过在可行区域（一个凸多面体）内寻找目标函数最小值的极点来逐步逼近最优解。如果找到的极点不是目标函数的最小值点，那么存在一条包含该点的边，使得目标函数沿这条边单调递减。如果这条边是有限的，算法将移动到新的极点；若边是无限的，表明线性规划问题无解。由于多面体的顶点数量有限，单纯形法总能终止并找到解决方案。 列生成方法结合单纯形法，首先通过解决一个简化版的线性规划（称为松弛问题）来确定哪些变量（或列）应该加入模型。这个过程不断重复，每次优化一个子集的变量，直到找到全局最优解。这种策略有效地解决了大规模线性规划问题，提高了计算效率，尤其在运筹学、物流优化、网络设计等领域有广泛应用。