广义D.H. Lehmer数与它的$m$次幂差值的研究

"这篇论文由徐哲峰撰写，探讨了广义D. H. Lehmer数与它的$m$次幂的差别的问题。主要关注当$m = \phi(n) - 1$时的经典D. H. Lehmer数，并研究了模$n$下，对于满足特定条件的整数$a$，其与$a^m$的模$n$幂的差值$|a - (a^m)^n|$的均值渐近公式。文章由西北大学数学系发布，涉及的领域包括整数理论、D. H. Lehmer数、模$n$的$m$次幂以及它们之间的差值计算。" 这篇论文的核心内容是关于广义D. H. Lehmer数的概念和性质。D. H. Lehmer数在数论中是一个重要的概念，特别是在同余类的计算和数的表示方面。在这个广义框架下，作者定义了一个整数$a$在模$n$下的$m$次幂等价类$(a)_n$，它满足$b ≡ a^m \pmod n$，其中$b$也是$1 \leq b \leq n$的唯一整数。这个定义扩展了经典的D. H. Lehmer数，后者通常出现在素数测试和算术函数的研究中。 论文特别关注那些$a$和$(a^m)_n$具有相反奇偶性的整数，这样的$a$被称为广义D. H. Lehmer数。当$m = \phi(n) - 1$时，这些数就变成了经典的D. H. Lehmer数，其中$\phi(n)$是欧拉函数，计算的是小于$n$且与$n$互质的正整数的数量。 论文的主要贡献在于研究了$|a - (a^m)^n|$的均值渐近公式，这是对模$n$下整数差值的深入探究。这个公式对于理解数的性质、模运算的规律以及在数论和密码学中的应用有重要意义。具体来说，公式涉及到了非负整数$k$和实数常数$\lambda \in (0, 1]$，这表明作者可能通过解析方法或数值分析得到了关于这个差值的渐近行为。 关键词表明，论文的重点在于整数的性质，特别是与D. H. Lehmer数相关的性质，以及模$n$下的$m$次幂操作。此外，还涉及到这些运算的差值，这在数论的某些子领域，如同余方程和同余类的计算中可能是至关重要的。这篇论文可能是对现有D. H. Lehmer数理论的扩展和深化，对进一步研究模运算和整数性质提供了新的视角和工具。