Eigen库在MacOS下解线性方程组：QR与Cholesky分解

"第2讲习题1 - 解决macOS平台上的矩阵运算" 这篇资源主要涉及线性代数中的矩阵理论及其在实际编程中的应用，特别是利用Eigen库在macOS平台上进行矩阵运算。以下是相关知识点的详细说明： 1. 奇异矩阵与非奇异矩阵： - 奇异矩阵（Singular Matrix）是指行列式的值（det(A)）为0的矩阵，这样的矩阵不能表示成满秩矩阵，即它没有逆矩阵。对于线性方程组Ax=b，如果A是奇异的，那么方程可能无解或有无限多个解。 - 非奇异矩阵（Non-singular Matrix）的det(A)不等于0，意味着矩阵可逆，对应的线性方程组Ax=b有唯一解。 2. 高斯消元法： - 这是一种用于求解线性方程组的方法，通过一系列行变换将系数矩阵变为上三角形矩阵，然后通过回代求解未知数。这种方法可以确保找到方程组的唯一解，前提是矩阵是非奇异的。 3. QR分解： - QR分解是将一个矩阵A分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，即A=QR。这个分解在求解线性方程组、计算特征值等问题中有广泛应用。当解方程组Ax=b时，可以转换为Rx=QTb，然后分别求解R和QTb。 4. Cholesky分解： - Cholesky分解适用于对称正定矩阵，即A=LL^T，其中L是下三角矩阵。这种方法在计算效率上优于高斯消元法，特别适合于求解对称正定方程组Ax=b。首先解Ly=b得到y，再解LTx=y得到x。 5. Eigen库的使用： - Eigen是一个C++库，用于高效地处理密集和稀疏矩阵以及向量。在提供的代码示例中，它被用来创建动态大小的对称矩阵和向量，并用QR分解和Cholesky分解求解线性方程组。`colPivHouseholderQr()`函数用于执行QR分解，`ldlt().solve()`用于执行Cholesky分解。 6. 编程实现： - 示例代码展示了如何在C++环境中使用Eigen库来实现QR分解和Cholesky分解求解线性方程组。通过`MatrixXd`类创建矩阵和向量，然后调用相应的函数进行求解，并打印结果。 总结来说，这个资源提供了线性代数中的基础概念，如矩阵的性质和线性方程组的解法，并结合具体的编程实例介绍了如何在macOS上利用Eigen库进行矩阵运算。这对于学习数值计算和线性代数的初学者以及在实际项目中应用矩阵运算的开发者都非常有价值。