随机过程课后习题详解：几何分布与特征函数

"该资源包含了应用随机过程课程的课后习题解答，主要涉及随机变量的分布、特征函数以及相关性质。" 随机过程是概率论中的一个重要分支，它研究的是随机变量随时间演变的行为。在本资料中，我们看到一系列与随机过程相关的习题解答，这些解答有助于深入理解随机变量及其分布特性。 1. 对于几何分布的问题，特征函数、期望（数学期望）和方差被计算出来。几何分布通常用于描述一系列独立试验直至首次成功的试验次数，其中每次试验成功概率为\( p \)。解答中展示了如何通过特征函数求解这些统计量。 2. 接下来的习题涉及指数分布的特征函数、期望和方差，以及证明两个具有相同参数的指数分布之和仍为指数分布的性质。指数分布是描述独立事件发生之间的时间间隔的经典例子，其特征函数的计算和性质证明是随机变量理论的基础。 3. 习题还讨论了逆变换法，通过分布函数构造新的随机变量的特征函数。例如，如果一个随机变量在[0,1]上均匀分布，那么其逆变换后的随机变量的特征函数可以被求解出来。 4. 当两个或多个随机变量相互独立且具有相同分布时，它们的和或积的分布可以通过乘法或加法法则计算，这是概率论中的基本技巧。本资料中展示了如何对几何分布的随机变量求和。 5. 验证一个函数是否为特征函数，并找到相应的随机变量分布，是学习随机过程时的常见练习。这通常涉及到利用特征函数的性质，如非负定性和解析性，以及对应随机变量的分布形式。 6. 另一个习题涉及到正态分布的性质，当多个正态分布随机变量相互独立时，它们的联合分布仍然是多维正态分布。解答展示了如何计算均值向量和协方差矩阵，这是多元统计分析中的关键步骤。 这份资料涵盖了随机过程中的核心概念，包括分布函数、特征函数、期望与方差的计算，以及随机变量之间的关系。这些习题解答对于正在学习随机过程的学生来说是非常有价值的复习材料，有助于深化理解和掌握随机变量和随机过程的基本理论。