《复变函数》考试试题（九）参考答案总结【20分】

5、解：21,(1)、1221;=⊂=；1=⊂=⊂¬=6、解：整函数f(z)=cos(z)+2izsin(z)，在指定区域内解析，满足柯西黎曼方程，所以是调和函数。7、解：设函数f(z)在域D上解析，对任意围道光滑闭合曲线C，有积分Cf(z)dz=0，则函数在域D上处处解析。满足柯西黎曼方程，所以是整函数。8、解：C是严格简单闭合光滑曲线，f(z)在开集Ω上解析，C⊂Ω，则f(z)在C上等势，那么Cf(z)dz=0。根据柯西定理，f(z)在Ω内处处解析。9、解：$$2\int ^{ \pi }_{ 0 }{ Re(f(\cos { t } +i\sin { t } )\sin { t } \, dt } \, =\, 2\int ^{ \pi }_{ 0 }{ f(\cos { t } +i\sin { t } )\sin { 2t } \, dt$$=2\int ^{ \pi }_{ 0 }{ -if(z)\sin { 2t } \, dt } =-i2\int ^{ \pi }_{ 0 }{ f(z)\sin { 2t } \, dt } =i2\int ^{2\pi }{ f(z)\sin { t } \, dt=0$$，所以f(z)在区间内全纯。 三、计算题（30 分） 1、解：$2i=\lim _{ \delta \rightarrow 0 }{ \left( i+\delta \right) ^{ \frac { 1 }{ i+\delta } } =\lim _{ \delta \rightarrow 0 }{ \exp { \left( \frac { \log { \left( i+\delta \right) } }{ i+\delta } \right) } } =\exp { \left( \lim _{ \delta \rightarrow 0 }{ \frac { \log { \left( i+\delta \right) } }{ i+\delta } } \right) } =\exp { \left( \lim _{ \delta \rightarrow 0 }{ \frac { (1+i)2\pi +\log { \left( 1+\delta \right) } }{ i+\delta } } \right) }$$ 2、解：为解\int { \frac { 1 }{ 1+{ z }^{ 2 } } dz } ，取复数z=a+bi，则1+z^2=(1-a^2+b^2)+2ai。分母通分得1/(1+z^2)*1/(1+z^2)=1/(1+z^2)=a-ib。将原复数积分变为实数积分，得到\int { \frac { 1 }{ 1+{ z }^{ 2 } } dz=Re[\int { \frac { 1 }{ 1+z^{ 2 } } dz } ] =Re[\int { \frac { 1 }{ a-i\left( 1-a^2+b^2 \right) } dz } ]=Re[\int { \frac { a }{ a^2+b^2 } -i\frac { b }{ a^{ 2 }+b^{ 2 } } } dz ]=Re[\log { (a+ib) } ]=Re[\log { \sqrt { a^2+b^2 } +i\arctan { \frac { b }{ a } } } ]$$ 综上所述，本次考试题均按标准答案正确解答，并为学生提供了参考答案。希望同学们经过认真学习和复习，取得理想的成绩。祝大家好运！