动态规划基础讲解 - 数字三角形求最大和问题 动态规划是一种算法设计技术,主要用于求解具有重叠子问题和最优子结构的问题,通过将大问题分解为相互关联的小问题,然后将这些小问题的解组合起来得到原问题的解。在这个例子中,问题涉及到寻找一个数字三角形中从顶点到底部的最佳路径,使得路径上所有数字之和最大。 问题描述中提到的数字三角形是一个经典的动态规划问题,如第9课中的综合实践考核题目。给定一个N行的三角形,每行的数字从1到N递增,且每个数在0到100范围内。目标是找到从左上角到右下角的路径,使得路径上数字之和最大。由于路径限制,每次只能向右或向下移动到相邻的数字。 解题思路的核心在于定义状态变量和递推关系。设D[r][j]表示第r行第j个数字,MaxSum(r, j)代表从第r行的第j个数字到底部的最佳路径的数字之和。根据题目条件,我们可以通过比较MaxSum(r+1, j)和MaxSum(r+1, j+1)来决定当前数字应与左邻或右邻的数字相连,从而更新MaxSum(r, j)的值。 参考程序I中,使用了递归方法来实现这个过程。函数MaxSum(r, j)首先检查是否到达最后一行,如果是,则返回D[r][j];否则,分别计算沿着右邻和下邻路径的可能最大和,选择其中较大者加上当前数字作为新的MaxSum。主函数通过读取输入的三角形数据,并调用MaxSum(1, 1)来计算最终的最大和。 需要注意的是,虽然递归是一种直观的解决方案,但在这里并不推荐直接使用递归,因为递归会导致大量的重复计算。动态规划的关键在于使用一个二维数组来存储中间结果(如MaxSum[r][j]),这样在后续计算中可以直接利用已知最优解,避免重复工作,大大提高了效率。 总结,动态规划在解决此类问题时,需要明确状态转移方程、初始化状态、以及如何通过已知最优解来更新状态。在实际编程中,将递推逻辑转换为迭代形式,如使用循环遍历,可以更好地应用到C++、C等编程语言中,并优化ACM(算法竞赛)题目中的性能。
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