多重背包问题解法及C++实现

"多重背包问题 I 是一个典型的计算机科学算法题，主要涉及动态规划和01背包问题的扩展。此问题要求解决的是一个多重背包的优化问题，其中物品可以无限重复使用，目标是使得装入背包的物品总价值最大。" 在多重背包问题中，与经典的01背包问题不同，每种物品可以有多个副本，也就是说，我们可以选择放入背包中的物品数量不限。题目提供的图像"NO4.png"可能是用来辅助理解问题的示例，但这里并未提供具体图像内容。 给定的参考答案是用C++实现的一个解决方案。这段代码首先定义了两个数组`a`和`b`，分别用于存储物品的价值和重量，然后通过输入读取物品的数量、价值、重量以及每个物品的副本数`s`。接下来，代码使用一个循环将多重背包转化为01背包的问题，即将每种物品的每个副本视为一个独立的物品，这样就将原问题转换为可以多次选择0或1个物品的子问题。 在动态规划部分，代码使用二维数组`dp`来记录到目前为止，容量为`j`的背包可以达到的最大价值。这个二维数组的初始化值全部为0。接下来的双重循环实现了动态规划的状态转移方程：对于每一种物品`i`，遍历所有可能的容量`j`，如果物品`i`的重量小于等于`j`，则更新`dp[j]`为当前物品不选和选的最大价值中的较大值。这里的`max(dp[j-a[i]]+b[i], dp[j])`就是01背包问题的标准状态转移。 最后，输出`dp[m]`作为结果，即容量为`m`的背包能装入的物品最大总价值。 这个算法的时间复杂度是O(n*m)，其中`n`是物品的总数（包括所有副本），`m`是背包的容量。空间复杂度是O(m)，因为只需要一个一维数组来存储动态规划的状态。 多重背包问题是动态规划在组合优化问题中的一种应用，它要求在有限的资源限制下，找到最优的选择策略。这个问题的解法通常依赖于将问题转化为更简单的子问题，并利用已解决的子问题来构建全局的最优解。在这个例子中，通过将多重背包转化为01背包，我们可以有效地解决这个问题。