最小二乘法原理与MATLAB多项式拟合实践

"本文档主要介绍最小二乘法的基本原理及其在MATLAB中的应用，特别是针对多项式拟合的实现。" 最小二乘法是一种在数据分析和曲线拟合中广泛使用的优化技术，其基本目标是找到一个函数，使得该函数与给定数据点之间的误差平方和最小。这种方法在处理噪声数据时尤其有用，因为它通过最小化平方误差来降低异常值的影响。 在最小二乘法中，通常有三种衡量误差大小的方法：最大误差绝对值、误差绝对值的和以及误差平方和的算术平方根。其中，误差平方和的算术平方根，即误差向量的2范数，是最常用的度量标准，因为它方便进行微分运算，特别是在曲线拟合过程中。 对于数据拟合，特别是多项式拟合，假设我们有一组数据点(xi, yi)，目标是在多项式函数族中寻找一个函数p(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n，使得这些数据点到p(x)的垂直距离平方和最小。这个过程可以表示为一个最小化问题，即寻找系数a0, a1, ..., an，使得误差项I = Σ[(p(xi) - yi)^2]达到最小。 当拟合函数为一次多项式（n=1）时，这种拟合称为线性拟合。对于更高次的多项式，我们可以利用矩阵代数来解决这个问题。在MATLAB中，可以使用内置的`polyfit`函数来实现多项式拟合。`polyfit`函数接受三个参数：x数据、y数据和多项式的阶数n，然后返回一个系数向量，这个向量可以直接用于构建拟合多项式。 例如，如果我们有数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xm, ym)}，并且想要进行二次拟合（n=2），在MATLAB中可以这样写： ```matlab x = [x1, x2, ..., xm]; % x数据 y = [y1, y2, ..., ym]; % y数据 p = polyfit(x, y, 2); % 求二次拟合的系数 ``` 得到的`p`向量包含三个系数[p0, p1, p2]，对应的拟合多项式为p(x) = p0 + p1*x + p2*x^2。 为了评估拟合的好坏，我们可以计算残差平方和或者使用R-squared（决定系数）来度量拟合的解释能力。此外，还可以使用MATLAB的`polyval`函数来计算任意x值处的拟合值，并绘制拟合曲线与原始数据点的图形，以直观地查看拟合效果。 最小二乘法是一种强大的工具，用于在噪声数据中找到最佳拟合模型。在MATLAB中，通过合理的数学建模和内置函数，可以高效地实现多项式拟合，帮助我们理解和预测数据趋势。