一致抛物型方程的弱最大值原理与唯一性

"一致抛物型方程广义解的弱最大值原理和唯一性定理 (1983年)" 本文关注的是线性与拟线性二阶椭圆型和抛物型方程的理论，特别是弱最大值原理和唯一性定理的应用。在椭圆型方程的研究中，Trudinger和Gilbarg-Trudinger已经解决了经典的最大值原理和唯一性问题。现在，研究者将这些成果扩展到了一致抛物型方程的一阶边界值问题。 一致抛物型方程通常在n维欧几里得空间E^n中的有界域a上定义，其边界为θQ，考虑的时间区间为(0, T)。文章中提出的方程(1)具有以下形式： \[ \int_{Q} \left(vu_t + \sum_{ij} a_{ij}(x,t) u_{x_i x_j} + f^{\prime}_i(x,t) u_{x_i} + d(x,t)u + f(x,t)\right) dx dt = 0 \] 其中，v是测试函数，属于γ(Q)——C^0_6(\bar{Q})的子空间，满足特定的边界条件，即在边界上的函数值为零。系数a_{ij}(x,t)、f^{\prime}_i(x,t)、d(x,t)和f(x,t)分别满足一定的条件以确保方程的稳定性。 条件(2)保证了系数矩阵的正定性，即\( K^{-1} \leq a_{ij}(x,t) \leq K \)；条件(3)指出\( d(x,t) \)在L^p(Q)空间中，且\( p > n/(p-1) \)；条件(4)规定源项\( f(x,t) \)在\( L^{\infty}(Q) \)中。 在证明过程中，文章引用了两个关键的引理。引理1表明，如果u属于γ(θ)，则u也在某个更强的函数空间中，并且存在一个常数C，不依赖于u，使得u的L^2空间中的积分与其在Q上的最大值之间有关系。引理2则是对椭圆型方程广义解弱最大值原理的推广，它表明满足特定条件的解u存在且有限。 通过这些引理，作者能够推导出一致抛物型方程广义解的弱最大值原理，即解在某些条件下不会超过其边界值或初值。此外，他们还讨论了唯一性定理，即满足特定条件的方程解是唯一的。这在理论和应用中都是极其重要的，因为它们帮助确保了数学模型的稳定性和可靠性。 这篇文章深入探讨了一致抛物型方程的弱最大值原理和唯一性定理，对线性与拟线性二阶偏微分方程理论做出了贡献，同时也为后续在相关领域的研究提供了理论基础。