"一致抛物型方程广义解的弱最大值原理和唯一性定理 (1983年)"
本文关注的是线性与拟线性二阶椭圆型和抛物型方程的理论,特别是弱最大值原理和唯一性定理的应用。在椭圆型方程的研究中,Trudinger和Gilbarg-Trudinger已经解决了经典的最大值原理和唯一性问题。现在,研究者将这些成果扩展到了一致抛物型方程的一阶边界值问题。
一致抛物型方程通常在n维欧几里得空间E^n中的有界域a上定义,其边界为θQ,考虑的时间区间为(0, T)。文章中提出的方程(1)具有以下形式:
\[ \int_{Q} \left(vu_t + \sum_{ij} a_{ij}(x,t) u_{x_i x_j} + f^{\prime}_i(x,t) u_{x_i} + d(x,t)u + f(x,t)\right) dx dt = 0 \]
其中,v是测试函数,属于γ(Q)——C^0_6(\bar{Q})的子空间,满足特定的边界条件,即在边界上的函数值为零。系数a_{ij}(x,t)、f^{\prime}_i(x,t)、d(x,t)和f(x,t)分别满足一定的条件以确保方程的稳定性。
条件(2)保证了系数矩阵的正定性,即\( K^{-1} \leq a_{ij}(x,t) \leq K \);条件(3)指出\( d(x,t) \)在L^p(Q)空间中,且\( p > n/(p-1) \);条件(4)规定源项\( f(x,t) \)在\( L^{\infty}(Q) \)中。
在证明过程中,文章引用了两个关键的引理。引理1表明,如果u属于γ(θ),则u也在某个更强的函数空间中,并且存在一个常数C,不依赖于u,使得u的L^2空间中的积分与其在Q上的最大值之间有关系。引理2则是对椭圆型方程广义解弱最大值原理的推广,它表明满足特定条件的解u存在且有限。
通过这些引理,作者能够推导出一致抛物型方程广义解的弱最大值原理,即解在某些条件下不会超过其边界值或初值。此外,他们还讨论了唯一性定理,即满足特定条件的方程解是唯一的。这在理论和应用中都是极其重要的,因为它们帮助确保了数学模型的稳定性和可靠性。
这篇文章深入探讨了一致抛物型方程的弱最大值原理和唯一性定理,对线性与拟线性二阶偏微分方程理论做出了贡献,同时也为后续在相关领域的研究提供了理论基础。