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龙贝格求积算法在实验2中的高精度实现与C语言代码
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更新于2024-08-11
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本资源是一份关于龙贝格求积算法实现的实验报告,由詹文淇同学在2019年计科2班完成。实验任务是利用复化梯形公式进行高精度求积,具体案例参考教材P110的例4.2。龙贝格求积算法是一种数值积分方法,它通过递归地将积分区间细化,通过外推多项式来逼近原函数的积分值,从而达到提高精度的目的。 该算法的核心是二维数组T,其中T[i][j]表示使用2i个子区间进行j次外推的积分值。T[i][0]特别重要,作为0次外推,采用自适应复化梯形法计算,后续的迭代公式为T[i][j] = (4j * T[i][j-1] - T[i-1][j-1]) / (4j - 1),这是一种递归公式,每次迭代都会更新当前精度级别的积分近似。 终止条件设定为当外推次数达到一定阈值(例如14次),且相邻两次迭代的误差|T[i][i-1] - T[i-1][i-1]|小于预设的容差ε(在这个例子中,ε=1e-5),则停止迭代。此时,最后一次外推的数据T[i][i]即为积分的最终结果。 程序流程中,首先初始化积分区间h为b-a,步长n为1,然后用递归的方式计算T[i][j],同时记录误差并调整子区间数。使用C语言(DEVC++)编写,涉及了基本的数学库函数,如求平方根、函数值计算以及整数次幂运算。关键部分包括计算函数getRombergFunction,用于获取自变量x对应函数值,以及自定义的pow函数实现整数次幂。 这份文档提供了龙贝格求积算法的具体实现步骤和代码,对于理解数值积分的高级技巧和编程实现具有很高的参考价值。通过学习和实践这个算法,学生可以掌握如何利用计算机进行高精度积分计算,并能根据实际需求调整算法以优化精度和效率。
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实验 2 龙贝格求积算法的实现
班级 计科
2
班 学号 201905962210 姓名 詹文淇
一、 实验任务
基于复化梯形公式的高精度求积,以教材 P110 例 4.2 为操作内容,给定计算积分,采
用龙贝格求积
已知计算积分:
二、 编程环境
PC 一台,C 语言(DEV C++)
三、 算法
二维数组 T 存储积分
T[i][j]:2
i
个子区间,j 次外推
T[i][0]:0 次外推,采用自适应复化梯形方法求解
迭代公式
T[i][j] = (4
j
T[i][j-1] - T[i-1][j-1])/(4
j
-1)
终止条件
外推次数越大,误差越小
区间数为 2
i
个时,i 次外推有 1 个数据,i-1 次外推为 2
若 i-1 次的两数据差足够小,则终止,否则子区间数翻倍
|T[i][i-1]-T[i-1][i-1]| ≤ ε
终止时,取 i 次外推数据 T[i][i]为积分结果
四、 程序流程
h=b-a; n=1;
T[0][0]=h/2*(f(a)+f(b));
for(i=1;i<14;i++){
s = 0;
for(j=0;j<n;j++) s=s+f(a+(j+0.5)*h);
T[i][0]=0.5*T[i-1][0]+h/2*s;
for(j=1;j<=i;j++) T[i][j]=(pow(4,j)*T[i][j-1]-T[i-1][j-1])/(pow(4,j)-1);
err=fabs(T[i][i-1]-T[i-1][i-1]);
h=h/2; n=n*2;
if (err<=1e-5) break;
}
printf("#interval=%d, err=%0.5f, res=%0.5f", n,err,T[i][i]);
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