插值法：构造精确函数的近似函数，满足节点条件。

第六章的内容是关于插值法的讲解。当我们需要对一个复杂或未知的精确函数 y = f(x) 进行近似计算时，可以通过在一系列已知节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn) 来构造一个简单易算的近似函数 g(x) ，同时满足 g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 在插值法中，通过已知节点的函数值来求解出一个插值多项式，该插值多项式一般表示为 g(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + ... + an(x-x0)(x-x1)...(x-x(n-1))。其中，a0, a1, ..., an 是待定的系数。 我们可以通过构建一个由已知节点和函数值所组成的线性方程组来解出这些未知系数。在线性方程组中，已知节点 x 和对应的函数值 f(x) 是已知的，关键在于求解由这些已知量构成的系数矩阵的特性。 这个插值函数 g(x) 称为 f(x) 的插值函数，它是一个最常被使用的插值函数之一。这个插值函数使用的是拉格朗日多项式的形式。 拉格朗日多项式可以用如下的公式表示：g(x) = f(x0) * L0(x) + f(x1) * L1(x) + ... + f(xn) * Ln(x)，其中 L0(x), L1(x), ..., Ln(x) 是拉格朗日基函数。拉格朗日基函数的表达式为 Lj(x) = (∏(x-xi))/(∏(xj-xi))，其中 i ≠ j。 具体来讲，对于给定的一组已知节点和函数值，我们可以通过计算拉格朗日基函数的值来得到相应的插值函数的值。 需要注意的是，拉格朗日插值多项式的系数阵是一个非奇异阵。 在第六章中，我们将学习如何使用插值法来近似计算复杂或未知函数的值。通过构造插值函数，我们可以在已知节点处准确地计算出函数的值。同时，我们还将学习如何通过求解系数矩阵来得到插值函数的具体形式。这将帮助我们更好地理解插值法的原理和应用。