"多项式的最高公因式的定义、存在性和求法"
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更新于2024-01-17
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第3讲讲述了多项式的最高公因式的定义、存在性与求法,并提供了一些思考题。公因式和最高公因式是本讲的核心概念。
一、公因式与最高公因式的定义
在多项式中,如果一个多项式可以整除两个或更多多项式,则该多项式称为这些多项式的公因式。具体地说,如果存在一个多项式P(x),使得对于所有的x,P(x)能够整除两个多项式f(x)和g(x),那么P(x)就是f(x)和g(x)的公因式。
而最高公因式是指所有公因式中次数最高的那个公因式。具体地说,对于两个多项式f(x)和g(x),如果存在一个多项式d(x),使得d(x)能够整除f(x)和g(x),且对于任何其他能够整除f(x)和g(x)的多项式P(x),d(x)能够整除P(x),那么d(x)就是f(x)和g(x)的最高公因式。
二、最高公因式的存在性与求法
最高公因式的存在性是在数论中的一个重要问题。根据最大公因数存在性定理,在一个整数环中,对于任意两个非零元素a和b,一定存在一个最大公因数。同样地,在多项式环中,对于任意两个非零多项式f(x)和g(x),也一定存在一个最高公因式。
最高公因式可以通过多种方法来求解。其中一种方法是使用多项式的因式分解。首先,对两个多项式f(x)和g(x)进行因式分解,将它们表示为乘积的形式,即f(x) = (x-r1)(x-r2)...(x-rn)和g(x) = (x-s1)(x-s2)...(x-sm),其中r1,r2,...,rn和s1,s2,...,sm是多项式的根。然后,所有在f(x)和g(x)中都出现的因子的乘积,即(r1,r2,...,rn)∩(s1,s2,...,sm),就是f(x)和g(x)的最高公因式。
另一种方法是使用最大公因数的性质。最高公因式的次数等于两个多项式的次数之差,即deg(d(x)) = deg(f(x)) - deg(g(x))。因此,我们可以使用欧几里得算法来递归地计算最高公因式。具体地,将f(x)和g(x)进行带余除法,得到商多项式q(x)和余多项式r(x),满足f(x) = g(x)q(x) + r(x)。然后,我们继续使用g(x)和r(x)进行带余除法,直到余多项式为零。此时,最高公因式就是最后一步的非零余多项式。
三、思考题
本讲最后给出了一些思考题,让我们进一步思考和巩固所学的知识。这些思考题涵盖了最高公因式的性质、求法以及与其他概念的关系。通过解答这些思考题,我们可以更好地理解最高公因式的概念和应用。
总结:
本讲讲述了多项式的最高公因式的定义、存在性与求法。公因式是能够整除两个或更多多项式的多项式,而最高公因式是所有公因式中次数最高的一个。最高公因式的存在性可以通过最大公因数存在性定理来证明。求解最高公因式可以使用因式分解或欧几里得算法。通过解答思考题,我们可以进一步巩固对最高公因式的理解。
2021-05-21 上传
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章满莫
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