斑块扩散与反馈控制下捕食者-食饵模型的周期解存在性研究
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更新于2024-09-04
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本文主要探讨一类具有斑块扩散与反馈控制的捕食者-食饵模型的周期解存在性问题。该模型由华南师范大学数学科学学院的谢旺生和翁佩萱教授合作研究，他们针对现实中野生动物在斑块环境中遭遇的复杂生态动态，引入斑块扩散机制和反馈控制机制，对经典的Lotka-Volterra模型进行了扩展。
在研究过程中，作者将微分方程求解问题转换为算子方程的形式，这种方法使得问题的处理更为系统化和精确。他们运用了重合度理论中的Mawhin连续性定理，这是一种在非线性动力系统中常用的工具，用于证明周期解的存在。通过证明模型中的重合度函数满足Mawhin定理的条件，他们得以确保至少存在一个正周期解，即捕食者和食饵种群在一定周期内经历一个完整的生态循环。
关键词"捕食者-食饵系统"突出了模型的核心内容，"周期解"强调了解的性质，"反馈控制"反映了生态系统中的相互作用调控，而"重合度"和"Mawhin连续性定理"则是证明方法的关键支撑。这种方法不仅适用于当前模型，也对理解其他生态系统的动态行为提供了理论依据。
这篇首发论文对理解斑块扩散和反馈控制如何影响捕食者-食饵系统的稳定性和周期性行为提供了深入的数学分析，为生态学家和生物数学家提供了宝贵的研究成果，有助于进一步优化野生动物保护策略和资源管理。
˖ڍመڙጲ
http://www.paper.edu.cn
的有界开集, 若满足：
(a) Lx 6= λNx, ∀λ ∈ (0, 1), x ∈ ∂Ω
T
DomL;
(b) QN x 6= 0, ∀x ∈ ∂Ω
T
KerL;
(c) deg{JQN, Ω
T
KerL, 0} 6= 0.
则Lx = Nx 在Ω ∩ DomL上至少存在一个解.
1 主要结果与证明
对任意ω−周期连续函数g(t),我们引进记号：g
M
= max
t∈[0,ω]
g(t), g
L
= min
t∈[0,ω]
g(t),
¯g =
1
ω
R
ω
0
g(t)dt. 为了证明系统(1)周期解的 存在性,我们将要用到引理1. 首先,我们给出以下假
设:
(A
1
) (b
1
−
k
1
c
)
L
> 0;
(A
2
) (
b
2
β
1
)
L
> (
ξ
1
η
1
)
M
R;
(A
3
)
k
2
B
1
> r;
其中,
R := max
(
b
1
a
1
)
M
, (
b
2
a
2
)
M
, B
1
:= c
M
k
2
a
3
M
e
−M
1
+ 1,
M
1
:= min
ln(b
1
−
k
1
c
)
L
− ln a
M
1
, ln(
β
1
a
2
)
L
+ ln[(
b
2
β
1
)
L
− (
ξ
1
η
1
)
M
R]
.
通过变换：x
1
(t) = e
v
1
(t)
, x
2
(t) = e
v
2
(t)
, y(t) = e
v
3
(t)
, u
1
(t) = e
v
4
(t)
, u
2
(t) = e
v
5
(t)
,
则系统(1)变为如下形式:
˙v
i
(t) = f
i
(v(t), t), i = 1, 2, 3, 4, 5, (2)
其中
f
1
(v(t), t) = b
1
(t) − a
1
(t)e
v
1
(t)
−
k
1
(t)e
v
3
(t)
c(t)e
v
3
(t)
+ e
v
1
(t)
+ D
1
(t)(e
v
2
(t)−v
1
(t)
− 1),
f
2
(v(t), t) = b
2
(t) − a
2
(t)e
v
2
(t)
− β
1
(t)e
v
4
(t)
+ D
2
(t)(e
v
1
(t)−v
2
(t)
− 1),
f
3
(v(t), t) = −r(t) − a
3
(t)e
v
3
(t)
+
k
2
(t)e
v
1
(t−τ
1
)
c(t)e
v
3
(t−τ
1
)
+ e
v
1
(t−τ
1
)
− β
2
(t)e
v
5
(t)
,
f
4
(v(t), t) = −η
1
(t) + ξ
1
(t)e
v
2
(t−τ
2
)−v
4
(t)
,
f
5
(v(t), t) = −η
2
(t) + ξ
2
(t)e
v
3
(t−τ
3
)−v
5
(t)
.
因此证明系统(1)有ω-正周期解(x
1
(t), x
2
(t), y(t), u
1
(t), u
2
(t))
T
, 即转化为证明系统(2)有ω-周期
解(v
1
(t), v
2
(t), v
3
(t), v
4
(t), v
5
(t))
T
.
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