无约束优化：共轭梯度法详解与应用

"共轭梯度法是无约束优化领域中的一种高效算法，它结合了最速下降法的思想，用于求解二次型优化问题。在华南理工大学的最优化课程中，这种方法被深入讲解，旨在帮助学生理解其直观概念和实际应用。" 共轭梯度法是一种迭代方法，主要用于求解线性方程组Ax=b，其中A是对称正定的矩阵，x和b是向量。在优化问题中，如果目标函数是二次型且A正定，那么找到Ax=b的解就等同于找到这个二次型函数的全局最小值点。正定矩阵的特性确保了所有特征值都是正的，因此对应的二次型函数在其定义域内是严格凹的，保证了存在唯一最小值点。 最速下降法是共轭梯度法的基础，它的核心思想是从一个初始点出发，沿着梯度的负方向进行迭代，以最快的速度减小目标函数的值。每一步的下降方向都是当前点处梯度的反方向。然而，最速下降法的缺点在于每次迭代都需要重新计算梯度，导致计算量大且迭代路径呈锯齿状，效率较低。 为了解决这个问题，共轭梯度法引入了"共轭"的概念，即在A作用下的两个方向是正交的。这意味着每次迭代的新方向不仅与梯度负方向正交，而且与之前的迭代方向也是正交的。这样做的好处是可以减少矩阵-向量乘法的次数，因为在共轭梯度法中，同一个方向只需要计算一次Ar(i)，而不是像最速下降法那样在每次迭代时都计算。 共轭方向法的迭代过程包括以下几个关键步骤： 1. 初始化：选择一个初始向量d(0)，通常为单位向量或者梯度的负方向。 2. 步长计算：通过线性搜索找到合适的步长α，使得沿着d(0)的方向前进一小段距离后，目标函数的值下降最多。 3. 更新解向量和残差：x(i+1) = x(i) + αd(i)，r(i+1) = r(i) - αAd(i)。 4. 计算新的共轭方向d(i+1)：d(i+1)通常通过修正的Gram-Schmidt正交化过程获得，确保d(i+1)与之前的所有d(j)（j<i）在A的作用下正交。 5. 检查收敛条件：若残差足够小或满足其他停止准则，则迭代结束；否则，回到第二步继续迭代。 共轭梯度法相比于最速下降法具有更快的收敛速度，尤其在高维问题中表现更优。在实际应用中，它广泛应用于机器学习、数值分析、工程优化等领域，是解决大型稀疏线性系统的重要工具。通过深入理解共轭梯度法的原理，不仅可以提高解决实际问题的效率，也能为学习更复杂的优化算法奠定基础。