图形变换数学基础：矢量、矩阵与齐次坐标

"本资源主要介绍了图形变换中的齐次坐标以及相关的数学基础知识，包括矢量、矩阵及其运算，涉及二维和三维变换以及光栅变换。" 在计算机图形学中，齐次坐标是一种扩展的坐标系统，它使得图形变换（如平移、旋转和缩放）的表示变得更加简单和直观。在二维空间中，一个点(x, y)的齐次坐标表示为(x, y, 1)，而在三维空间中，这个点会对应到一条通过原点的直线。这种表示方法使得我们可以用一个简单的矩阵乘法来完成复杂的几何变换。 数学基础是图形变换的核心，其中包括矢量和矩阵的概念及其运算。矢量是一个有方向和大小的量，通常用来表示位置、速度或力。矢量的运算包括矢量的和、数乘、点积以及叉积。矢量的和是将两个矢量的对应分量相加；数乘是将一个标量（即无方向的数）与矢量相乘，改变矢量的大小而不改变方向。点积（内积）可以计算两个矢量之间的角度和投影，而叉积（外积）则用于产生一个新的矢量，该矢量与原来的两个矢量垂直，并且其模长等于两矢量的模长乘积和它们夹角的正弦。 矩阵是一个由数值构成的矩形阵列，可以进行加法和数乘运算。当两个矩阵的维度相同时，可以执行矩阵加法；数乘则是将一个标量乘以每个矩阵元素。矩阵乘法是图形变换中的关键，因为它可以表示线性变换，例如旋转、缩放和平移。对于二维图形变换，一个2×2的矩阵可以表示旋转和平移，而三维变换则需要3×3的矩阵。 在图形二维变换中，我们通常会用到2×2或3×3的矩阵，比如进行旋转变换、缩放变换和位移变换。在三维变换中，除了这些基本变换外，还需要处理深度信息，因此使用4×4的矩阵，它可以同时包含平移、旋转、缩放等多种变换。光栅变换是将几何对象转换成像素的过程，它是显示图像的关键步骤，通常涉及到插值、裁剪和视图变换等操作。 总结来说，本资源提供的知识点包括： 1. 齐次坐标的概念及其在图形变换中的应用。 2. 矢量的基本运算，如加法、数乘、点积和叉积。 3. 矩阵的定义、加法、数乘以及它们在图形变换中的作用。 4. 二维和三维图形变换的基本原理。 5. 光栅变换的基本概念。 这些知识对于理解和实现计算机图形学中的变换算法至关重要，也是游戏开发、虚拟现实、可视化等领域的重要基础。