Fisher线性判别式：模式识别与维数压缩

"本文主要介绍了Fisher线性判别式，一种用于模式识别的判决函数分类方法，由R.A.Fisher在1936年的经典论文中提出。该方法旨在通过降低维数来解决高维空间中的模式识别问题，特别是寻找最佳的线性投影方向，以实现样本的最佳区分。" Fisher判别式的核心思想在于寻找一个投影向量，使得不同类别之间的样本在投影后能够最大程度地分开。在线性判别分析中，这个投影向量被称为Fisher解向量。其目标是找到一个线性变换，将高维特征空间的数据投影到一维空间，这样可以简化问题，同时最大化类间距离和最小化类内距离。 在两类别问题中，假设我们有两类样本，每类样本有各自的特征向量和数量。Fisher定义了一个准则函数，该函数衡量了投影后两类样本的可分性。投影后的标量值即为判决函数的输出，它指示了样本属于哪一类的概率。为了找到最佳的投影方向，我们需要找到使得类间散度最大，同时类内散度最小的方向。 类间的散度通常用两类别样本均值的欧氏距离来表示，而类内的散度则是所有样本到其类别均值的距离平方和的平均值。Fisher的目标是最大化这两者的比值，这个比值被称为Fisher准则或Fisher得分。通过优化这个准则，我们可以找到最优的投影向量，即Fisher解向量。 在实际计算中，我们可以利用梯度上升或梯度下降等优化方法来求解Fisher解向量。一旦找到了这个向量，就可以将所有样本沿着这个方向投影，从而实现样本的分类。 Fisher判别式的应用不仅限于模式识别，它在机器学习、统计学和数据分析等领域都有广泛的应用。例如，在面部识别中，它可以用来提取人脸图像的主要特征；在文本分类中，可以用于提取关键词以区分不同主题的文章；在生物信息学中，它可以帮助识别具有特定功能的基因序列。 Fisher判别式是一种强大的工具，它通过线性变换降低了数据的复杂性，提高了分类的效率和准确性。尽管最初设计用于二维或三维空间，但其理论和方法同样适用于更高维度的数据，是模式识别和机器学习领域不可或缺的一部分。