SPFA算法详解：动态逼近法解决单源最短路

SPFA算法，全称为ShortestPathFasterAlgorithm，是一种用于求解单源最短路径问题的高效算法，特别适用于存在负权边的图，比如在Dijkstra算法无法处理负权边的情况下。该算法由西南交通大学段凡丁于1994年提出，其核心思想基于动态逼近法，利用一个先进先出（FIFO）队列q进行节点优化。 算法流程如下： 1. **队列操作**： - 通过邻接矩阵或邻接表存储图G，优先选择邻接表，因为对于大规模图，这可以更有效地节省空间。 - 初始化队列q，所有节点的最短路径估计值dis设为无穷大（表示未确定），标记为未访问vis设为假，将源点s的dis设为0并标记为已访问。 - 定义头尾指针head和tail，将s加入队列。 2. **松弛操作**： - 在循环中，取队首节点u进行操作。遍历u的所有邻居v，若dis[v]大于dis[u]加上从u到v的边的权重w[i,j]，说明可能存在更短路径，更新dis[v]为dis[u] + w[i,j]，并将v（若不在队列中）加入队列尾部。 - 这个过程类似于“三角不等式”原理，确保找到当前最优路径。每次操作后，可能使某些节点重新加入队列，允许节点多次“松弛”。 3. **区别于BFS**： - SPFA与广度优先搜索(BFS)相似，但关键区别在于SPFA允许节点出队后根据路径更新再次入队，形成反复迭代的过程，直到队列为空或达到终止条件。 4. **结束条件**： - 当队列为空，或者所有的节点都已访问过（vis[i]为真），则说明已经找到所有从源点s到其他节点的最短路径估计值。 总结来说，SPFA算法巧妙地利用队列和松弛操作，能够在存在负权边的图中有效地求解单源最短路径问题，其灵活性使其成为处理这类问题的首选算法之一。理解和掌握这个算法对于处理实际的图论问题具有重要意义。