线性回归模型：理解与假设检验

本文主要介绍了线性回归模型，特别是简单线性回归的假设、估计问题以及拟合优度和误差项的概率分布。 线性回归模型是统计学中一种广泛使用的预测方法，它试图通过直线来描述两个或多个变量之间的关系。在简单线性回归中，我们有两个变量：自变量x和因变量y，模型可以表示为 \( y = \beta_0 + \beta_1 x + u \)，其中 \( \beta_0 \) 是截距，\( \beta_1 \) 是斜率，而 \( u \) 是误差项。 对于简单线性回归，有几个重要的假设： 1. 线性于参数：模型的关系是线性的，意味着因变量y与自变量x的改变呈线性关系。 2. 随机抽样：观测值是从总体中独立同分布地随机抽取的。 3. 解释变量的样本有变异性：自变量x在样本中存在变化，不是常数。 4. 零条件均值：误差项u的期望值在任何自变量值下都为零，即 \( E(u|x) = E(u) = 0 \)。 5. 同方差性：误差项u的方差在x的各个水平上是恒定的，即 \( Var(u|x) = \sigma^2 \)。 线性回归的估计问题通常通过最小二乘法（OLS）解决，目标是找到斜率 \( \hat{\beta}_1 \) 和截距 \( \hat{\beta}_0 \)，使得误差平方和（SSE）最小。最小化误差平方和的结果是，OLS估计量是最佳线性无偏估计量（BLUE），即使扰动项的分布未知，它们仍是最优的。 拟合优度（R²）是衡量模型解释因变量变异程度的一个指标，它等于解释平方和（SSE）与总平方和（SST）的比率的平方，即 \( R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} \)。R²值越接近1，表明模型解释的变异比例越大，模型拟合得越好。 在进行区间估计和假设检验时，通常需要对误差项u的分布做出假设，经典的线性回归模型假定误差项u服从正态分布，具有零均值和恒定方差，即 \( u_i \sim N(0, \sigma^2) \)。这个正态性假设对于构建置信区间和进行假设检验（如原假设测试）至关重要，因为它使得我们可以使用t分布或F分布来进行统计推断。 线性回归模型建立在一系列假设之上，包括线性关系、随机抽样、解释变量的变异性、零条件均值和同方差性。通过最小二乘法估计参数，并通过R²评估模型的拟合效果。在实际应用中，还需考虑误差项是否满足正态分布的假设，以确保推断的可靠性。