预条件SOR与AOR迭代法收敛性比较分析

"预条件SOR迭代法和AOR迭代法的比较 (2010年) 薛秋芳，戴芳，陈娟娟 西安理工大学理学院" 本文主要探讨了在解决线性方程组问题时，两种常用的迭代解法——预条件SOR迭代法（Preconditioned SOR Iterative Method）与AOR迭代法（Accelerated Overrelaxation Iterative Method）之间的比较和优劣。线性方程组通常表示为 Ax=b，其中A是一个n×n的矩阵，x和b是n维向量。对于大型稀疏矩阵，直接求解方法（如高斯消元法）可能效率低下，因此迭代法成为了首选。 首先，预条件技术是提高迭代法效率的一种手段，通过非奇异矩阵P对原矩阵A进行预处理，将原方程组转换为PAx=Pb。这种方法有助于加速收敛，特别是在处理不规则或者对角占优的矩阵时。 预条件SOR迭代法是Gauss-Seidel迭代法的一种改进，引入松弛因子ω，公式如下： x(k+1) = (I - ωL)^(-1) [ωUx(k) + ωb - ωSx(k)] 其中，L和U是A的下三角和上三角部分，I是单位矩阵，S是A的对角线部分之外的元素。ω的选择对迭代法的收敛性至关重要。 相比之下，AOR迭代法是在SOR方法的基础上进一步加速，通过调整松弛因子来优化迭代过程。然而，本文指出，对于M-矩阵类的线性方程组，预条件SOR迭代法在收敛性上优于AOR迭代法。M-矩阵是一种具有特定性质的矩阵，其逆也是M-矩阵，且所有特征值都为正。 文章中，薛秋芳、戴芳和陈娟娟通过理论分析和比较定理，证明了在相同条件下，预条件SOR迭代法的收敛速度更快，这为选择合适的迭代方法提供了理论支持。M-矩阵类的这一特性使得预条件SOR迭代法在实际应用中更具优势，尤其是在处理大规模科学计算和工程问题时。 本文的研究对于理解预处理技术在迭代法中的作用，以及如何根据问题特性选择合适迭代方法有重要意义。在处理大型线性方程组时，预条件SOR迭代法因其良好的收敛性能，成为了更优的选择。