非Lipschitz条件下的倒向随机微分方程解研究

"这篇论文探讨了在非Lipschitz条件下的倒向随机微分方程（BSDEs）解的存在性和唯一性，特别是在由连续局部鞅作为驱动力的情况下。通常，BSDEs的研究主要基于Lipschitz条件，但这种假设在现实世界的应用中过于严格。作者李师煜、高武军和刘且根通过构造函数列并应用Lebesgue's控制收敛定理和常微分方程的比较定理，扩展了这一理论，证明了解不仅存在而且唯一，即使在不满足Lipschitz条件时也是如此。这一成果对于随机最优控制和数学金融等领域具有重要意义，因为它允许更广泛的随机模型被纳入分析范围。" 在随机微分方程的研究中，Lipschitz条件是一个常用且强有力的假设，它确保了解的存在性和唯一性。然而，实际问题中的随机过程往往不满足这种严格的连续性条件。Pardoux和Peng在1990年的开创性工作虽然为非线性BSDEs提供了解的存在性和唯一性的理论基础，但它们局限于Lipschitz条件。论文的贡献在于它放宽了这个限制，将注意力转向了更一般的连续局部鞅驱动的BSDEs。 论文中提到的Lebesgue's控制收敛定理是一个关键工具，它在概率论和实分析中用于处理序列的极限行为，尤其是当这些序列受到某些控制函数的影响时。在这个背景下，该定理可能被用来保证所构造的函数列的极限是可预测的，这在证明解的存在性时至关重要。 此外，常微分方程的比较定理则为分析BSDEs的解提供了另一个重要的理论依据。这个定理允许我们根据生成元（即微分方程的系数）的性质来比较不同解的行为。在证明唯一性时，这种比较方法可以有效地排除多于一个解的可能性。 这篇论文对BSDEs理论的拓展意义重大，它不仅加深了我们对随机微分方程的理解，也为解决那些涉及非理想化随机源的实际问题提供了新的数学工具。这一工作对于自然科学，尤其是概率论、随机控制理论以及金融数学等领域的研究者来说，都具有极高的参考价值。