胡寿松版最优控制理论习题详解：极值曲线与轨线求解

最优控制理论与系统是研究如何在一定条件下选择最优的控制策略，以使系统的性能指标达到最佳的一门学科。胡寿松版的教材中，包含了一系列针对不同性能泛函和边界条件的习题，这些习题旨在帮助学生深入理解并应用最优控制理论的基本原理。 2-5 题目要求找出一条极值曲线，使得通过给定的起点和终点，同时考虑到被积函数的性质。通过欧拉方程的建立，我们可以发现被积函数的形式对于确定极值曲线至关重要。在解题过程中，求解者首先代入欧拉方程，然后利用被积函数的特征解出一般解，并结合边界条件求得具体的极值曲线。这个过程展示了如何运用动态规划思想解决实际问题。 2-6 题目涉及到的状态初值和终值已知，且控制变量[pic]是自由的。通过欧拉方程和横截条件，解出性能泛函的通解，并通过解方程组找到极值轨线。这体现了在有初始和最终状态约束下，如何通过优化控制策略来最小化性能指标。 2-7 该问题涉及的是一个更为复杂的性能泛函，边界条件中部分参数是自由的。通过欧拉方程和横截条件，解出控制变量的表达式，进而计算出使性能泛函取极值的极值轨线。这展示了在多变量和非线性情况下求解最优控制问题的方法。 2-9 和 2-12 题目则是关于二次积分模型和性能指标的优化。2-9题要求求解的极值轨线和控制变量与被积函数以及给定的初始和终端状态紧密相连，而2-12题则进一步考虑了最优控制的问题，即在特定的二次积分模型下，如何找到能使性能指标达到最小化的控制策略和最优轨迹。这些问题强调了实际工程中的应用性和数学建模的重要性。 通过解答这些习题，学生能够熟练掌握最优控制理论中的关键概念，如欧拉方程、横截条件的应用，以及如何处理不同类型的问题以求得最优解。这不仅锻炼了解决实际问题的能力，也为他们未来在工程设计或科研工作中优化系统性能打下了坚实的基础。