数学竞赛题解：极限、连续性与可导性解析

"高等数学" 高等数学是数学的一个重要分支，主要研究函数的极限、连续性、微分与积分以及级数等概念。题目涉及的内容广泛，包括但不限于极限理论、函数的连续性和可导性、导数的计算、函数的渐近线以及极限的四则运算。 1. 极限是高等数学的基础，它定义了函数在某一点的行为。题目中提到了极限存在的条件，即左极限等于右极限。对于函数的连续性，如果在某点的左极限、右极限都存在并且相等，同时函数在该点有定义且函数值等于极限值，那么函数在该点是连续的。第一类间断点分为可去间断点（函数值可调整为极限值）和跳跃间断点（左右极限不相等）。第二类间断点则包括所有非第一类的情况。 2. 可导性是函数在某点处局部线性近似的性质。如果函数在某点的左导数和右导数都存在且相等，那么函数在该点可导。求导数的本质就是寻找极限，即判断是否存在 \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)。 3. 函数的渐近线描述了函数在远端的行为。水平渐近线发生在 \( \lim_{x \to \infty} f(x) = A \) 或 \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = A \) 时；铅直渐近线对应于 \( \lim_{x \to c} f(x) = \pm \infty \)；斜渐近线则由 \( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k \) 和 \( \lim_{x \to \infty} [f(x) - kx] = b \) 定义。函数可能有一条或两条水平渐近线，一条或两条斜渐近线，但总条数不超过两条。 4. 常用的极限公式包括 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，\( \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1 \)，\( \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x})^x = e^{-1} \) 等，这些极限在解决复杂问题时非常有用。 5. 极限的四则运算是求解复合函数极限的关键，如 \( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \) 等。此外，通过恒等变形、约去零因子、有理化等方法可以简化极限问题。 6. 夹逼定理和单调有界定理是判断极限存在的准则，它们提供了一种直观的判定方法，尤其在直接求解极限困难时。 7. 两个重要极限是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) 和 \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \)，它们在推导其他极限和导数计算中起到基础作用。 题目中的具体问题涵盖了这些概念，如求极限、计算曲面积分、优化问题、微分方程的初值问题、无穷积分的性质以及可微函数的性质等。解决这些问题需要对高等数学的基本概念和定理有深入的理解和熟练的运用。