数值分析实验：LU分解与最小二乘拟合

"这篇资源是关于数值分析课程设计的一个项目，主要涉及矩阵的LU分解以及在实际问题中的应用。" 在数值分析中，LU分解是一种矩阵分解的重要方法，它将一个方阵A分解为两个矩阵的乘积，即A = LU，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。这个过程在解决线性方程组、求解逆矩阵以及进行矩阵运算时非常有用。在给定的代码中，使用了杜里特尔(Doolittle)分解法来实现LU分解。这种方法通过迭代的方式逐行构建L和U矩阵，对于每一行i，首先计算L(i,j)（j<i）然后更新U(i,j)。 在提供的代码中，我们看到一个名为`LU_decom`的MATLAB函数，它接受一个矩阵A作为输入，并返回L和U矩阵。函数首先初始化L为单位矩阵，U为零矩阵，并设置一个标志变量`flag`来检查分解是否成功。在主循环中，通过逐行处理并计算L和U的元素，确保了L的下三角部分和U的上三角部分被正确填充。如果在某一行中出现U的对角元素接近零（小于机器精度eps），则返回失败标志，因为这会导致无法进行后续的除法操作。 在完成LU分解后，该实验还扩展到了数值积分和最小二乘拟合的问题。给定一个函数f(x) = 1/(1+25x^2)，实验要求在区间[-1,1]上使用不同数量的等距节点进行最小二乘拟合，以评估拟合的精确度。当节点数为5时，代码创建了一个M文件，计算了函数值，并使用`polyfit`函数拟合了一个三次多项式。然后，通过比较拟合函数与原始函数的误差平方和（均方误差）来评估拟合质量。 这个数值分析的课程设计涵盖了矩阵的LU分解算法以及数值积分和拟合的基本概念，这些都是数值计算中不可或缺的基础知识。通过这样的实践，学生可以深入理解这些理论概念，并掌握它们在实际问题中的应用。