三次曲线拟合与SVM核函数探索

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本讲义深入介绍了支持向量机(SVM)的核函数概念,特别是针对非线性问题的处理。首先,讲解了初始问题中的线性回归,当特征x与结果y的关系不是简单的线性关系,如在房价预测中可能呈现3次曲线时,需要使用特征映射(feature mapping)技术。通过将特征扩展到更高维度,如三次多项式,将x映射为三维特征向量 ϕ(x) = [x, x^2, x^3],使得原本线性不可分的数据在高维空间变得可分。 核函数(Kernel)在这个过程中起到了关键作用。它允许我们在保持数据在低维空间表示的同时,利用映射后的特征进行计算。原始特征的内积 <x, z> 被映射为高维空间中的 <ϕ(x), ϕ(z)>,通过定义核函数 𝐾(𝑥,𝑧) = ϕ(𝑥)·ϕ(𝑧),我们避免了直接计算映射后的高维特征,从而显著减少了计算复杂度。例如,当核函数为 (𝑥𝑧)^2 时,通过仅计算原始特征的内积的平方,可以节省原本需要的 O(n^2) 时间,提升算法效率。 值得注意的是,核函数的选择对SVM性能至关重要。不同的核函数(如线性核、多项式核、径向基函数RBF核等)对应不同的映射函数,它们决定了模型能否适应非线性问题。选择合适的核函数能够帮助SVM在保持模型简洁的同时,有效地处理复杂的决策边界。 支持向量机通过核函数这一巧妙的方法,实现了在低维特征空间处理非线性问题的能力,极大地扩展了其应用范围,并优化了计算效率。这对于机器学习初学者理解和实践SVM算法具有重要的指导意义。