3D刚体运动与李群：增量、导数及其在视觉SLAM中的应用

"这篇资料是关于《58速运-百万单量用车o2o架构实践》演讲中涉及的IT知识，主要探讨了李群和李代数在3D刚体运动表示及计算机视觉中的应用。" 在计算机视觉领域，3D刚体运动的表示是一个核心概念。刚体是不发生形变的物体，其在空间中的运动可以分解为平移和旋转两部分。3D旋转通常用旋转矩阵R来描述，它是一个3x3的正交矩阵，满足R^T * R = I，其中I是单位矩阵。在3D空间中，旋转可以通过欧拉角（俯仰、偏航、翻滚）或四元数来表示，但旋转矩阵提供了一种直观且方便的数学工具。 李群是具有群结构的连续拓扑空间，而李代数则是李群的切空间，是研究李群动态和导数的基础。在3D刚体运动中，SO(3)表示旋转群，SE(3)则表示三维空间中的平移和旋转组合，它们都是李群的例子。李代数so(3)和se(3)分别对应于SO(3)和SE(3)的切空间，包含了旋转和平移的微小变化。 在李群中，增量和相对于增量的导数是理解刚体运动变化的关键。例如，3D旋转可以用轴角表示，即一个单位向量ω和一个旋转角度θ，对应的李代数元素是反对称矩阵Ω= [ω]×。李群的增量可以表示为e^(ΔΩ)e^Ω，其中e^Ω是欧拉公式的结果，代表旋转。在小角度近似下，这个表达式简化为e^(ΔΩ) ≈ e^Ω + ΔΩ，这在计算连续旋转时非常有用。 李群的导数描述了运动参数的变化率，这对于计算机视觉中的优化问题至关重要，如SLAM（Simultaneous Localization And Mapping，同时定位与建图）。在SLAM中，重投影误差的导数用于BA（Bundle Adjustment），即通过最小化相机观测到的特征点与预测位置之间的差异来优化相机的姿态和地图点的位置。光束平差法是解决这一问题的常用方法，它通过全局优化来改进模型的估计。 此外，除了几何误差（如重投影误差），还可以考虑光度误差（photometric error），即像素颜色的差异，用于估计光照变化和相机噪声等。最小化光度误差可以进一步提高视觉SLAM系统的性能和鲁棒性。 李群和李代数为描述和分析3D刚体运动提供了强大的数学工具，它们在计算机视觉和机器人学中的应用广泛，尤其是在估计和优化运动轨迹、解决视觉SLAM问题等方面发挥着重要作用。