2023钉耙编程中国大学生算法联赛：零异或和表格

"2023‘钉耙编程’中国大学生算法设计超级联赛（4）的比赛题目集，其中包含了关于编程算法的问题，特别是涉及到位运算的题目——NumberTable。" 在2023年的“钉耙编程”中国大学生算法设计超级联赛第四阶段中，参赛者们面临一个名为“NumberTable”的挑战。这是一个涉及位运算和排列组合的数学问题。比赛的设定是斯巴达家族正在进行一场早期教育数字表游戏，游戏在一张有两行n列的表格上进行。Uncle Dante填充第一行，Father Vergil填充第二行，他们希望侄子Nero计算出所有可能的填数方式，使得表格中所有数字的按位异或(XOR)和为0。 关键规则包括： 1. 只能填充非负整数，范围在[0, 2^k)之间。 2. 每个单元格内的数字不能任意填写，必须遵循特定规则。 3. 同一行或同一列内不允许有重复的数字。 选手Nero不想回答这个问题，他想去找Kyrie，于是将问题留给了你。你需要解决的是，对于给定的每组测试案例（测试案例的数量T在1到10之间），找出符合规则且能使按位异或和为0的填数方案数量。 输入部分会给出T行数据，每行包含两个正整数n和k，n的取值范围在1到40之间，k的取值范围在1到10000之间。n表示表格的列数，k表示数字的上限。 输出部分要求针对每个测试案例，单独输出一行，显示满足条件的填数方案数。 解决此类问题，通常需要运用位运算的性质和排列组合的知识。首先，由于异或操作的交换律和结合律，第一行的异或结果可以看作是一个固定的值，然后我们需要找到第二行的填充方式，使得第二行的异或和与第一行的异或和相等，从而整体异或和为0。考虑到n和k的大小，这可能需要采用动态规划或者回溯搜索的方法来求解所有可能的组合，并计算满足条件的组合数。 例如，如果第一行的异或和为x，那么第二行的每个位置上的数字都应该是x的补码，以确保它们各自的异或和与x相异或后结果为0。然而，由于每个位置上的数字还需要满足[0, 2^k)的限制以及不能重复的规则，因此实际的解决方案将更加复杂。需要考虑如何有效地排除那些不能形成合法排列的组合，避免不必要的计算。 这是一道考验参赛者对位运算、排列组合以及算法设计理解的难题，要求参赛者能够灵活运用数学知识和编程技巧，找到高效的求解策略。