数值分析习题解析：误差计算与有效数字

"数值分析第五版_李庆扬_王能超_易大义主编的课后习题答案涵盖了数值分析的基本概念、误差分析、有效数字、条件数等相关内容。" 在数值分析中，我们关注的是如何用计算机或数学方法处理实际问题时的数值计算。本资料主要针对李庆扬、王能超和易大义主编的《数值分析》教材第五版的课后习题提供了答案，旨在帮助读者深入理解和掌握课程的核心知识点。 1. 绪论部分涉及了误差的概念和计算。例如，习题1和2解释了如何计算一个数的相对误差，并通过实例展示了相对误差在函数中的传播。相对误差是衡量近似值与真实值之间差异的重要指标，而函数的条件数则用于描述误差放大效应。 2. 有效数字是衡量数值精度的另一种方式。习题3讨论了在四舍五入后的近似数中，有效数字的数量。有效数字的个数决定了数值的精确度，对于记录和比较数据非常重要。 3. 习题4介绍了误差限的计算，通过公式(2.3)求解了不同情况下的误差限，这在实际计算中用于确定近似值的精度范围。 4. 习题5探讨了球体积的计算及其与半径误差的关系。在数值计算中，我们希望保持相对误差在一个可接受的范围内，这里计算了为了保持总体积误差不超过1%，半径测量的允许相对误差限。 5. 递推公式在数值计算中常见，习题6展示了如何分析由递推公式产生的误差。通过计算[pic]的序列，可以估算[pic]的误差，这在序列和级数的近似计算中很重要。 6. 习题7涉及求解方程的近似根，确保结果具有足够的有效数字。这里使用了牛顿法或其他迭代方法，以保证根的精确度。 7. 当N非常大时，求[pic]的问题在概率论和统计学中有广泛应用。习题8中，通过假设[pic]，并利用极限理论，可以找到接近[pic]的表达式。 8. 习题9和10涉及到测量误差对结果的影响。例如，在测量正方形边长时，如果要求面积误差不超过特定值，需要计算允许的边长误差限。同样，在时间测量中，对t的微小误差会如何影响其他量的计算也进行了讨论。 这些习题的答案揭示了数值分析中的关键概念，包括误差分析、有效数字、条件数、误差传播以及迭代计算等。通过解决这些问题，学生可以增强对数值方法的理解，提高他们在实际问题中应用这些方法的能力。