时间序列分析：非线性回归在预测中的应用与实践

"非线性回归在预测中的应用 (1991年)，胡仲康，自动化系，时间序列，非线性回归，多元线性回归，正交多项式，正交化处理" 非线性回归是一种统计分析技术，常用于时间序列数据的建模与预测，以揭示数据背后复杂的非线性关系。在1991年胡仲康的文章中，作者探讨了如何利用计算机处理时间序列的非线性回归问题。非线性回归模型能够捕捉到数据随时间变化的非线性趋势，这对于理解和预测那些不遵循简单线性规律的现象尤其有用。 文章指出，通过分析误差，可以验证非线性回归方法的可行性。误差分析是评估模型准确性的关键步骤，它帮助识别模型拟合数据的程度以及预测的精度。作者列举了几项计算结果，这些结果支持了非线性回归方法在实际预测中的有效性。 非线性回归问题通常可以通过转换成线性问题来解决，例如通过多项式展开。胡仲康提到，任何具有良好性质的初等函数都可以表示为泰勒级数，这意味着一个非线性模型可以被近似为多项式形式。对于时间序列数据，可以构建如公式(1)所示的多项式模型，其中y是因变量，x是自变量，而y_i和x_j是对应时刻的观测值。随机误差ε_a服从正态分布N(0, σ²)，这体现了数据的不确定性。 为确定多项式的系数，通常采用最小二乘法。这种方法旨在找到一组系数b，使得模型的残差平方和最小，即方差最小。将多项式回归问题转化为多元线性回归问题，可以通过引入自变量的高次项，如x^2, x^3等，将非线性模型转换为线性模型，然后应用线性回归的算法进行求解。 在实际应用中，正交多项式和正交化处理扮演着重要角色。正交多项式能确保各变量之间无多重共线性，从而提高模型的稳定性。正交化处理可以减少变量间的相关性，使得回归系数更容易解释，并且可以优化计算效率。 胡仲康的文章还涉及了结构矩阵，这是在多元线性回归中用于描述自变量间关系的工具。通过结构矩阵，可以分析不同自变量对因变量的影响，以及它们之间的相互作用。 这篇文章提供了一个深入理解非线性回归在时间序列预测中应用的视角，强调了误差分析、多项式转换和正交化处理的重要性。对于数据分析和预测领域的研究者来说，这些方法和概念是处理复杂数据集和理解动态系统的关键工具。