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其中,$l = - L, \cdots ,0, \cdots ,L$, $m = - M, \cdots, 0, \cdots ,M$,且有$L = {{\left( {W
- 1} \right)} / 2}$, $M = {{\left( {Z - 1} \right)} / 2}$, $W$和$Z$分别是方位角和仰角对应的
相位模式总数,此处取$W$和$Z$为奇数,偶数情况类似,不再赘述。
为了使阵列具有近似频率响应不变特性,可对第$(l,m)$相位模式信号进行频率补偿,
记${H_{l,m}}(\omega )$为第$(l,m)$相位模式下的频率补偿滤波器,${g_{l,m}}$为第
$(l,m)$相位模式信号的权重系数,则 UCSA 的空时频率响应可以表示为
$$B(\omega ,\theta ,\varphi ) = \sum\limits_{l = - L}^L {\sum\limits_{m = - M}^M
{{g_{l,m}}{H_{l,m}}(\omega ){j_{l,m}}(\omega )} } $$
其中,${j_{l.m}}(\omega ) = \displaystyle\sum\nolimits_k
\displaystyle\sum\nolimits_{{p_k}} \displaystyle\sum\nolimits_{{q_k}}
{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega \hat r\cos (\varphi - \varphi _p^{(k)})\cos (\theta - \theta _q^{(k)})}}
$$ {{\rm{e}}^{{\rm{j}}{{2{\rm{\pi}} {p_k}l} /
{{P_k}}}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{{2{\rm{\pi}} {q_k}m} / {{Q_k}}}}}$。式(3)进行贝塞尔函
数分解和近似后
[17]
,可近似表示为
$$B(\omega ,\theta ,\varphi ) \approx \sum\limits_{l = - L}^L {\sum\limits_{m = - M}^M
{{g_{l,m}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}(l\varphi + m\theta )}}{T_{l,m}}(\omega ){H_{l,m}}(\omega )} } $$
其中,${T_{l,m}}(\omega ) = \displaystyle\sum\nolimits_k {j^m}{P_k}{Q_k}{J_{(m +
l)/2}}\left( {{{\omega {{\hat r}_k}} / 2}} \right) $$ {J_{(m - l)/2}}$$\left( {{{\omega {{\hat
r}_k}} / 2}} \right)$。由式(4)可知,如果能够设计频率补偿滤波器满足
${T_{l,m}}(\omega ){H_{l,m}}(\omega ) \approx 1$
[17]
,则式(4)可以近似为
$$B(\omega ,\theta ,\varphi ) \approx \sum\limits_{l = - L}^L {\sum\limits_{m = - M}^M
{{g_{l,m}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}(l\varphi + m\theta )}}} } $$
由式(5)可以看出,阵列响应基本实现了频率响应不变特性。此外,本文设计的同心球
阵列可等效为一个虚拟平面阵列,且具有电子可旋转特性,即可通过波束形成系数的相位
改变阵列的主瓣方向,同时在整个空间的性能具有一致性。阵列的频率不变特性可以提高
宽带信号 DOA 估计的性能,降低计算复杂度;等效阵列的电子可旋转特性可进一步降低
DOA 估计的计算复杂度并保证各个角度信号估计性能的一致性。
3. 低计算复杂度降维 MUSIC 算法
设 UCSA 接收到了$D$个宽带信号,信号频率范围为$\left( {{\omega _l},{\omega _u}}
\right)$,第$d$个信号的到达角为$\left( {{\varphi _d},{\theta _d}} \right)$, ${\varphi _d} \in
\left[ {0,2{\rm{\pi}} } \right)$,${\theta _d} \in ( - {\rm{\pi}} /2,{\rm{\pi}} /2]$, $1 \le d \le D$。
根据第 2 节的推导,经频率补偿后,UCSA 的方向矩阵可写作