无界区域非局部椭圆方程解的 existence 证明与方法

本文主要探讨了无界区域中的非局部椭圆方程解的存在性问题，由作者辛奎东在河海大学理学院发表。辛奎东首先运用迦赛尔金方法（Galerkin method）在这个领域取得了突破，他证明了在有界区域Ω内，当方程中不包含非局部项时，椭圆方程存在解。这种方法依赖于函数空间的理论和对解的恰当逼近。 接着，作者将注意力转向全空间情况，即\( \mathbb{R}^N \)，利用上下解（sub-supersolution method）策略来证明无界区域内同样存在不包含非局部项的椭圆方程的解。上下解方法是一种有效的技术，通过比较一个上解（supersolution）与一个下解（subsolution），可以确定方程解的存在性。 值得注意的是，辛奎东的工作是对已有文献关于非局部椭圆方程解的研究的补充，特别是罗伯特·斯坦奇茨、科雷亚和马-里维拉等人的工作，他们关注的是不同类型的区域和特定条件下的非局部方程。然而，对于无界区域上的非局部问题，辛奎东的研究是相对较少的，这表明他的工作具有一定的新颖性和填补了研究空白。 在整个研究过程中，辛奎东不仅依赖数学工具如不动点理论和Brouwer不动点定理，还引入了弱解的概念，这是分析非线性偏微分方程解性质的关键。定义1中，弱解的定义要求对于所有测试函数，该解在Ω内满足一定的积分关系，这是求解非局部方程时标准的分析框架。 这篇文章提供了在无界区域中研究非局部椭圆方程解的重要步骤和方法，其结果对于理解和解决这类方程在实际应用中的问题具有重要意义。通过辛奎东的工作，我们可以看到在非局部数学模型的研究中，如何巧妙地结合传统分析技巧与现代方法，以达到对复杂问题的深入理解。