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\right)}\bigg/{{\rm{sinc}}\left( {\dfrac{D}{T}t} \right)}}$,且${\left| {s[mD]} \right|^2}=1, m
= 0, 1, $$ ··· , {N_{\rm{P}}} - 1$。
3. 基于路径补偿的 OMP 时延估计方法
3.1 路径补偿
目前水声信道估计的主流还是基于网格的压缩感知信道估计,由于信道先验信息不充
足,无法保证多径信道所有的路径时延都恰好在预先设置的时延网格上,所以总是会出现
离网格路径,而离网格路径的能量会按照类似 sinc 函数的形态向两边的网格位置泄漏
[10]
,
也就是说,离真实路径越近的网格位置包含的能量越多。因此,在进行 OMP 信道估计
时,如果不采用大的过采样因子,仅用一个原子来表示离网格路径,必然会导致较大的能
量泄漏。
本文将式(4)看作多元线性拟合问题,提出路径补偿的概念。用两个在真实路径附近的
原子${a}_{{f_1}}^{\left( l \right)}$和${a}_{{f_2}}^{\left( l \right)}$来拟合一个具有离网格
时延的路径${\xi _l}{{a}_l}$,从而达到补偿泄漏能量的目的。这两个原子对应的网格时延
中,离真实时延更近的称为估计时延$\tau _{{f_1}}^{\left( l \right)}$,另一个称为补偿时延
$\tau _{{f_2}}^{\left( l \right)}$,两个时延之间的距离称为补偿距离$\Delta \tau _f^{\left( l
\right)} = \left| {\tau _{{f_2}}^{\left( l \right)} - \tau _{{f_1}}^{\left( l \right)}} \right|$。用公式
来阐述上述 2 元拟合思想,即
$$\begin{split} {\overset{\smile} {z}} [mD] = & \sum\limits_{l = 0}^{L - 1} {{\xi _l}{{\rm{e}}^{ -
{\rm{j}}2{\rm{\pi }}mD\frac{{{\tau _l}}}{T}}}} + u[mD] \\ = & \sum\limits_{l = 0}^{L - 1} {\left( {\xi
_{{f_1}}^{\left( l \right)}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}mD\frac{{\tau _{{f_1}}^{\left( l \right)}}}{T}}} + \xi
_{{f_2}}^{\left( l \right)}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}mD\frac{{\tau _{{f_2}}^{\left( l \right)}}}{T}}}}
\right)} \\ & + w[mD] \\[-12pt] \end{split} $$
接着,将式(7)化简为向量矩阵形式${\overset{\smile} {{z}}} = {D\gamma } + {w}$,
其中${w}$是线性拟合表示之后的等效噪声向量,${D} \in {\mathbb{C}^{{N_{\rm{P}}}
\times 2L}}$与${\gamma } \in {\mathbb{C}^{2L \times 1}}$可表示为
$$\left. \begin{gathered} {D} = \left[ {{a}_{{f_1}}^{\left( 0 \right)},{a}_{{f_2}}^{\left( 0
\right)}, ··· ,{a}_{{f_1}}^{\left( l \right)},{a}_{{f_2}}^{\left( l \right)}, ··· ,{a}_{{f_1}}^{\left( {L - 1}
\right)},{a}_{{f_2}}^{\left( {L - 1} \right)}} \right] \\ {\gamma } = {\left[ {\xi _{{f_1}}^{\left( 0 \right)},\xi
_{{f_2}}^{\left( 0 \right)}, ··· ,\xi _{{f_1}}^{\left( l \right)},\xi _{{f_2}}^{\left( l \right)}, ··· ,\xi _{{f_1}}^{\left( {L -
1} \right)},\xi _{{f_2}}^{\left( {L - 1} \right)}} \right]^{\rm{T}}} \\ \end{gathered} \right\}$$