无网格法中的正交基函数优化与应用

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"无网格法中多项式基函数的正交性研究及应用" 这篇论文主要探讨了无网格法中基函数的正交性及其在数值计算中的应用。无网格法是一种新兴的数值方法,它避免了传统有限元方法中网格划分的步骤,简化了数据准备过程,特别适用于处理大变形、金属成形和动态裂纹扩展等问题。 在无网格法中,移动最小二乘(MLS)方法被用来插值场函数。通过在影响域内进行局部插值,计算最优的插值函数和节点形函数。然而,这种方法需要对矩阵A求逆,导致计算时间较长。论文关注的是如何通过选择正交基函数来优化这一过程。 正交基函数法的核心思想是选取一组基函数,使得生成的矩阵A变为对角矩阵,这样可以简化求逆操作,提高计算效率。论文指出,多项式基函数和正交基函数在插值和导数计算上是一致的,因此正交基函数的使用不会影响解的精度,反而能有效减少计算时间。 论文以二维三次基函数为例,比较了解方程法和直接求逆法。解方程法仅需求解4次(形函数1次,导数3次),而直接求逆法需要10次,随着维数和次数的增加,解方程法的优势更加显著。此外,通过算例证明了正交基函数在无网格法中的有效性。 论文还引用了正交系的概念,即在内积空间中,满足特定正交条件的向量序列,这种序列在正交基函数的构建中起着关键作用。通过正交基函数,矩阵A的求逆变得更简单,从而提高了无网格法的实用性。 总结来说,这篇论文的研究结果表明,正交基函数在无网格法中的应用可以提升计算效率,而不牺牲解的精度,对于无网格法的未来发展具有积极的推动作用。同时,它为无网格法提供了新的优化策略,特别是在处理复杂问题时,这种方法有望带来更高效的解决方案。