网络流入门:最大流算法详解与建模技巧
网络流从入门到深入理解是一门复杂的主题,特别是对于那些想要掌握该领域的专业人士而言。本文档《网络流从入门到入土》由MolotovM整理,旨在提供一个全面的教程,适合初学者和进阶者学习。首先,让我们回顾一下前置图论知识: 1. **网络流定义**:网络流是指在一个有向图中,源点S只有一个,汇点T也唯一,每条边都有一个非负容量,表示该边能承载的最大流量。网络图中,每条边同时有两个量:容量c[u][v]和流量f[u][v],流量不能超过容量。 2. **可行性与性质**:合法的网络流被称为可行流,它满足流入节点的流量等于流出节点的流量(除S和T)。如果一条边的流量达到其容量,该边的残量为零,表示无法再通过此路径传输更多流量。 3. **残量网络**:当网络中的流量达到最大时,可以通过残量网络分析,它是原网络中每条边剩余容量构成的网络。残量网络用于检测是否存在增广路。 接下来是关键部分:**最大流算法**,特别是Ford-Fulkerson算法(FF算法)的介绍: - **增广路与最大流**:算法的核心是寻找增广路,即一条从源点S到汇点T且未达到最大流量的路径。每次找到增广路后,沿路径增加流量,直至无增广路可寻,此时的流量即为最大流。 - **反向边的应用**:在FF算法中,为了克服某些路径可能被占用的情况,引入了反向边。例如,当无法通过2-3这条正向边增加流量时,会创建一条从3到2的反向边,以“退”回已使用的流量,并尝试其他路径(如2-4)。 - **深度优先搜索(DFS)的应用**:DFS在找寻增广路时发挥重要作用,它是一种递归的遍历策略,通过探索所有可能的路径,确保最大流的计算效率。 这份文档涵盖了网络流的基本概念,包括最大流最小割定理的理论基础,以及最大流算法中的关键策略,特别是福特-弗洛克森算法的执行细节。对于想要学习和实践网络流算法的人来说,这是一份不可或缺的参考资料。
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