第
24
卷第
4
期
数学研究与评论
2004
年
1
1
月
JOURNAL
OF
MA
THEMA
TICAL
RESEARCH
AND
EXPOSITION
半素环上的右理想及其微商*
张秀英
(吉林大学数学研究所,吉林长春
130023)
摘
要
:R
是半索环
.d
是
R
的微商
.p
是
R
的右理想
.a
是
R
中元素,如果对于
p
中的所有元
素
x.
都有
ad(x)"=O.
其中
n
是一个固定的正整数,那么必有
apd(p)p=O.
关键词
z
微商;
GPI;
素环;半素环.
分类号
:AMS(2000)
16U80.16W25/CLC
number:
0153.3
文献标识码
:A
文章编号:
lOOO-341X(2004)04-0675-04
Vo
l.
24
NO.4
Nov.
2004
在文
[4J
中,
I.
~.
fferstein
证明了如下结论
:R
是素环
,
d
是
R
的一个内导子,如果对于任
意的
Z
仨 R
及正整数
n
,
有
d(x)"
=
0
,则
d=
O.
文
[8J
和
[12J
将这一结果由素环上的内导子
推广到了半素环上的任意微商.在文
[3J
中,
Lanski
讨论了在素环的某些
Lie
理想上带有罪零
值的微商,并且
Lanski
在文
[2J
中证明了如下结论,即设
R
是素环
,
d
是
R
的微商,
ρ
是
R
的一
个右理想,若对任意的
Z
ξ
p
,
都使得
d(x)"
=
0
,其中
n
是一个固定的正整数,那么必有
d(
ρ
)p
=
O.
M.
Brèar
在文
[lJ
中给出了微商幕零性的→个推广,亦即,他证明了如下结论
:R
是半素
环,且为仙一1))一-挠自由环
,
d
是
R
的微商
,
a
ξ
R
,
如果对于任意的
z
ε
R
,
有
ad(x)n
=
0
,其中
n
是一个固定正整数,则
ad(R)
=
O.
T.
K.
Lee
和
J.
S.
Lin
在文〔的中研究了
Bresar
的
结果在
Lie
理想条件下的情形,同时去掉了
R
是
(n
-
1)!一←挠自由的假设条件.
本文考虑
Bresar
的结果在右理想条件下的情形,并证明了如下结论:
主要定理
设
R
为半素环,带有非零微商
d
,
p
是
R
的非零右理想,如果对于任意的
Z
ε
ρ
,有
ad(x)n
=
0
,其中
n
是一个固定的正整数,那么必有
apd(
ρ)ρO.
主要定理的证明实际上是素环的一类特殊情况,因此我们首先证明以下结论.
定理
1
设
R
为素环
,
d
是微商,
ρ
是
R
的一个非零右理想
,
a
E
R.
如果
ad(x)n
=
0
,对任
意的
z
ερ
都成立,其中
n
是一个固定正整数,那么必有
αρ=0
或者
d(
ρ)ρO.
证明
首先明确记号,用
Q
和
C
分别表示素环
R
的对称
Martindale
商环和扩展形心
[13J
我们将按两种基本情形进行讨论如下.
情形
l
假设
R
不满足任何广义多项式恒等式(后文均简记作
GP
l).
*收稿日期
:2002-12-09
作者简介
z
张秀英(1
967
崎)
.副教授.
-
675
一