概率论与数理统计A试卷解答：重点概念与公式解析

"2017-2018学年冬季学期的《概率论与数理统计A》试卷解答(A卷)，包含了是非题、填空题和选择题，涉及概率论与数理统计的基础概念和计算。" 本文将详细阐述试卷中提及的知识点： 1. 事件的关系与概率： - 事件A与B的关系不一定满足A-B=A，这取决于A和B的相互关系。此题指出这个等式并不总是成立的，说明了事件之间的概率关系的复杂性。 2. 互不相容事件： - 如果两个事件A和B的概率之和P(A)+P(B)>1，这意味着它们不能同时发生的概率大于0，因此它们不可能是互不相容（即互斥）的事件。 3. 简单随机样本与统计量的独立性： - 给定一个来自正态分布N(μ, σ²)总体的简单随机样本，统计量如样本均值和样本方差通常是不独立的，这是因为在样本之间存在一定的关联性。 4. 零概率事件： - 概率为0的事件并不意味着它一定不会发生，只是在多次试验中发生的可能性极其微小，但理论上仍然可能。 5. 期望作为估计量的相合性： - 当总体期望μ未知时，样本均值是μ的一个相合估计量，这意味着随着样本大小的增加，样本均值会越来越接近真实的期望值。 6. 条件概率与联合概率： - 通过给出事件A和B的单独概率以及他们的联合概率差，可以计算条件概率P(B|A)。在这个例子中，已知P(A)=0.7, P(B)=0.5, P(B-A)=0.15，可以计算得到P(B|A)=0.5。 7. 协方差与均匀分布： - 一个随机变量X服从[1, 2]上的均匀分布，其乘以2得到的随机变量Y也是均匀分布，它们的协方差为0，表示X和Y是统计独立的。而事件Y≤1的概率是1/2。 8. 抛硬币的概率问题： - 甲乙两人各自抛一枚公平的硬币两次，甲至少投出一次正面的概率是11/16，这涉及到二项分布的计算。 9. 正态分布样本的性质： - 来自正态分布N(0, 2²)的简单随机样本，经过某种运算后得到的新统计量Y，满足特定的χ²分布，这里的c=1/8是常数。 10. 随机变量的概率密度函数： - 随机变量X的概率密度函数f(x)在[a, b]上定义，这里[a, b]必须是[-π, π]，这是基于周期性函数的概率性质。 11. 变量变换的概率密度函数： - 当随机变量X的概率密度函数为f(x)，且Y=3X，Y的概率密度函数f(y)与X的概率密度函数有特定的关系，这里是通过变量变换来求解的。 以上内容涵盖了概率论中的基本概念，包括事件的概率、独立性、条件概率、期望估计、随机变量的分布、概率密度函数以及统计推断中的样本性质等。这些知识点是理解和应用概率论与数理统计的基础。