MATLAB实现一维搜索方法:数学原理与应用 - 第8章

本章主要介绍了最优化方法在MATLAB中的实现。最优化方法是研究如何从多个方案中选择最优解的数学分支。MATLAB的最优化工具箱提供了解决不同类型最优化问题的算法。 首先介绍了一维搜索问题。一维搜索问题可以直接用于解决实际问题，也作为多变量最优化方法的基础。一维搜索问题的数学模型为\( \min _x f(x) \)，其中 \( x , x_1 \) 和 \( x_2 \) 是标量，\( f(x) \)是目标函数，返回标量。搜索过程可以用迭代式 \( x_{k+1} = x_k + \beta \) 表示，其中 \( x_k \) 为本次迭代的值， \( \beta \) 为搜索方向上的步长参数。一维搜索的目的是利用本次迭代的信息构造下次迭代条件。 根据目标函数是否需要求导，一维搜索方法可分为直接法和间接法。直接法不需要目标函数的导数，而间接法需用到目标函数的导数。如果函数的导数容易求得，可以考虑使用三次插值法，因为它具有较高效率。对于只需计算函数值的方法，二次插值是一个很好的选择，它的收敛速度较快。 8.2 多维搜索问题介绍了多维搜索方法。多维搜索问题的数学模型为 \( \min _{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \)，其中 \( x \) 是n维向量， \( f(x) \) 是目标函数。多维搜索问题的目标是找到使目标函数取最小值的 \( x \)。采用最简单的梯度下降法可以解决大多数多维搜索问题。梯度下降法的基本思想是沿着目标函数的梯度方向不断迭代减小目标函数值。梯度下降的迭代公式为 \( x_{k+1} = x_k - \alpha \nabla f(x_k) \)，其中 \( x_k \) 为当前迭代点， \( \alpha \) 为学习率， \( \nabla f(x_k) \) 为目标函数在 \( x_k \) 处的梯度。 若目标函数是凸函数，则梯度下降法一定可以收敛到全局最优解。但对于非凸函数，梯度下降法只能收敛到局部最优解。因此需要结合其他算法，如牛顿法和拟牛顿法，来解决非凸函数的优化问题。牛顿法利用目标函数的海森矩阵求解目标函数最小值的迭代方法，拟牛顿法是一种梯度下降的改进方法，通过更新一个近似的海森矩阵来逼近目标函数的海森矩阵。 实际问题中，最优化方法在机器学习、金融建模、信号处理等领域都有广泛应用。MATLAB提供了丰富的最优化工具箱，可以方便快速地实现各种最优化算法。熟练掌握最优化方法对于解决实际问题具有重要意义，希望本章内容能帮助读者更深入理解和运用最优化方法。